環同態

在環論或抽象代數中，環同態是指兩個環 ${\displaystyle R}$ 與 ${\displaystyle S}$ 之間的映射 ${\displaystyle f}$ 保持兩個環的加法與乘法運算。

更加精確地，如果 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 是環，則環同態是一個函數${\displaystyle f:R\rightarrow S}$，使得：

• ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$，對於 ${\displaystyle R}$ 內的所有 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$；
• ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$，對於 ${\displaystyle R}$ 內的所有 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$；
• ${\displaystyle f(1)=1}$。

如果我們不要求環具有乘法單位元，則最後一個條件不需要。

性質

直接從這些定義，我們可以推出：

• ${\displaystyle f(0)=0}$
• ${\displaystyle f(-a)=-f(a)}$
• 如果 ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle R}$ 內具有乘法逆元，則 ${\displaystyle f(a)}$ 在 ${\displaystyle S}$ 內具有乘法逆元，且有 ${\displaystyle f(a^{-1})=(f(a))^{-1}}$。
• ${\displaystyle f}$ 的核，定義為${\displaystyle \ker(f)=\{a\ \mathrm {in} \ R:f(a)=0\}}$，是 ${\displaystyle R}$ 內的一個理想。每一個交換環 ${\displaystyle R}$ 內的理想都可以從某個環同態用這種方法得出。對於具有單位元的環，環同態的核是一個沒有單位元的子環。
• 環同態 ${\displaystyle f}$ 是單射，若且唯若${\displaystyle \ker(f)=\{0\}}$。
• ${\displaystyle f}$ 的像，${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$，是 ${\displaystyle S}$ 的一個子環。
• 如果 ${\displaystyle f}$ 是雙射，那麼它的逆映射 ${\displaystyle f^{-1}}$ 也是環同態。在這種情況下，${\displaystyle f}$ 稱為同構。在環論的立場下，同構的環不能被區分。
• 如果存在一個環同態 ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$，那麼 ${\displaystyle S}$ 的特徵整除 ${\displaystyle R}$ 的特徵。這有時候可以用來證明在一定的環 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 之間，不存在環同態 ${\displaystyle R\rightarrow S}$。
• 如果 ${\displaystyle R}$ 是一個域，則 ${\displaystyle f}$ 要麼是單射，要麼是零函數。（但是，如果 ${\displaystyle f}$ 保持乘法單位元，則它不能是零函數）。
• 如果 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 都是域，則 ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$ 是 ${\displaystyle S}$ 的一個子域（如果 ${\displaystyle f}$ 不是零函數）。
• 如果${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 是交換環，${\displaystyle S}$ 沒有零因子，則 ${\displaystyle \ker(f)}$ 是 ${\displaystyle R}$ 的一個素理想。
• 如果${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 是交換環，${\displaystyle S}$ 是一個域，且 ${\displaystyle f}$ 是滿射，則 ${\displaystyle \ker(f)}$ 是 ${\displaystyle R}$ 的一個最大理想。
• 對於每一個環 ${\displaystyle R}$，都存在一個唯一的環同態 ${\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow R}$。這就是說，整數環是環範疇中的始對象。

例子

• 函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{n}}$，由 ${\displaystyle f(a)=[a]_{n}=a{\bmod {n}}}$ 定義，是一個滿射的環同態，它的核為${\displaystyle n\mathbb {Z} }$。
• 當 ${\displaystyle n>1}$ 時，不存在環同態${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {Z} }$。
• 如果 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ 表示變量為 ${\displaystyle X}$ 的所有實係數多項式的環，${\displaystyle \mathbb {C} }$表示複數域，則函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} [X]\rightarrow \mathbb {C} }$，由 ${\displaystyle f(p)=p(i)}$ 定義（在多項式 ${\displaystyle p}$ 中用虛數單位 ${\displaystyle i}$ 來代替變量 ${\displaystyle X}$），是一個滿射的環同態。${\displaystyle f}$ 的核由 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ 內所有能被 ${\displaystyle X^{2}+1}$ 整除的多項式組成。

環同態的種類

• 雙射的環同態稱為環同構。
• 定義域與值域相同的環同態稱為環自同態。

在環範疇中，單射的環同態與單同態是相等的：如果 ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ 是單同態而不是單射，則它把某個 ${\displaystyle r_{1}}$ 和 ${\displaystyle r_{2}}$ 映射到 ${\displaystyle S}$ 的同一個元素。考慮從 ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ 到 ${\displaystyle R}$ 的兩個映射 ${\displaystyle g_{1}}$ 和 ${\displaystyle g_{2}}$，分別把 ${\displaystyle x}$ 映射到 ${\displaystyle r_{1}}$ 和 ${\displaystyle r_{2}}$；${\displaystyle f\circ g_{1}}$和 ${\displaystyle f\circ g_{2}}$是相等的，但由於 ${\displaystyle f}$ 是單同態，這是不可能的。

然而，在環範疇中，滿射的環同態與滿同態是非常不同的。例如，${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} }$ 是滿同態，但不是滿射。

參見

• 同態