向量分析

向量分析，或稱為向量微積分（英語：Vector calculus）是數學的一個分支，主要研究在3維歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中向量場的微分和積分。「向量分析」有時也用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。

向量分析在微分幾何與偏微分方程的研究中起着重要作用。它被廣泛應用於物理和工程中，特別是電磁場、引力場和流體流動的描述中。

向量分析由約西亞·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世紀末從四元數分析發展而來，大多數符號和術語由吉布斯和愛德華·比德韋爾·威爾遜（英語：Edwin Bidwell Wilson）在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法運用了可推廣的外積，下文將會討論。

基本物件

純量場

主條目：純量場

純量場將空間中的每點與純量值相關聯。純量是代表物理量的數字。純量場的應用如空間中的溫度分佈、流體中的壓強分佈、零旋量子場（稱為純量玻色子）如希格斯場。這些場是純量場論的研究物件。

向量場

主條目：向量場

向量場將向量分配給空間中的每一點。^[1]例如，平面中的向量場可形象地理解為一組箭頭的集合，每個都有給定的大小與方向，並與平面上的點相關聯。向量場常用於模擬運動流體在整個空間中的速度和方向，或某種力（如磁力或引力）在點之間變化時的強度和方向。例如，這可用於計算在一條線上所做的功。

向量和偽向量

在更高級的處理中，進一步區分了偽向量場和贗純量場，它們只在反向映射下符號會變化：例如，向量場的旋度是偽向量場，若反射一個向量場，旋度會指向相反的方向。這種區別在幾何代數中有闡述，下詳。

向量運算

代數運算

主條目：向量

向量分析中的基本代數（非微分）的運算稱為向量代數，定義在一向量空間，然後應用到整個向量場，基本代數運算有：

向量分析基本代數運算

運算	記作	描述
向量加法	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	兩個向量相加，產生向量。
純量乘法	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	純量和向量相乘，產生向量。
內積 / 點積	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	兩個向量相乘，產生純量。
外積 / 叉積	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中兩向量相乘，產生（偽）向量。

兩種三重積也比較常見：

向量分析中的三重積

運算	記作	描述
純量三重積	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	向量與兩向量叉積的點積。
向量三重積	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	向量與兩向量叉積的叉積。

三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。

微分運算

主條目：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子

向量分析研究定義在純量場或向量場定義的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）來表示，也被稱為「Nabla算子」。向量分析的五個最重要的微分運算：

算子	表示	敘述	界域
梯度	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	純量場 ${\displaystyle f}$ 於場中某點增加率最大的速率與方向	純量場的梯度是向量場
散度	${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}}$	向量場 ${\displaystyle {\vec {F}}}$ 於場中某點附近發散或匯聚的程度	向量場的散度是純量場
旋度	${\displaystyle \operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}}$	向量場 ${\displaystyle {\vec {F}}}$ 於場中某點附近旋轉的程度	向量場的旋度是向量場
向量拉普拉斯算子（英語：Vector Laplacian）	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	均值在無窮小的球內向量場的值不同的程度	向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯算子	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	對純量場 ${\displaystyle f}$ 作梯度運算後，再作散度運算	純量場的拉普拉斯是純量場

定理

同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度：

定理	表示	註解
梯度定理	${\displaystyle \int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)}$	梯度（向量）場中的曲線積分與它的純量場中兩個端點的差。
格林定理	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	平面內向量場中區域的純量旋度，等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 內向量場的旋度的曲面積分，等於向量場在曲面邊界上的線積分。
高斯散度定理	${\displaystyle \int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$${\displaystyle \mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S} }$	向量場的散度對體積的積分，等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。

應用

線性近似

主條目：線性近似

線性近似用幾乎相同的線性函數代替複雜函數。給定實值可微函數${\displaystyle f(x,\ y)}$，對接近${\displaystyle (a,\ b)}$的${\displaystyle (x,\ y)}$，可以用下式近似${\displaystyle f(x,\ y)}$

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

右式是${\displaystyle z=f(x,\ y)}$圖形在${\displaystyle (a,\ b)}$處切線的平面方程。

最佳化

主條目：最佳化

對連續可微多變量函數，若其所有偏導數在P點都為零（梯度為零），則P點是一個臨界點。臨界值是函數在臨界點上的值。

若函數光滑，或至少2次連續可微，則臨界點可能是局部極值或鞍點。考慮二階導的黑塞矩陣的特徵值，可以區分不同情形。

由費馬引理，可微函數的局部極值都出現在臨界點上。因此，要找到局部極值，只需計算梯度的零點及當處的黑塞矩陣特徵值。

物理學與工程學

向量分析尤其適於研究

• 質心
• 場論
• 運動學
• 麥克斯韋方程組

推廣

向量分析還可推廣到其他3-流形及高維空間。

不同3-流形

向量分析起初是在歐氏空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中，不僅是3維實向量空間，還具有額外結構，即：由內積定義範數（給出長度概念），又引出角度與方向，方向又分左右手。這些結構產生了體積形式，以及在向量分析中常用的叉積。

梯度與散度只需要內積，旋度和叉積還需要考慮坐標軸的手性。

若其他3維實向量空間有內積（或更一般的對稱非退化形式）核方向，向量分析就可在這些空間上定義；這比歐氏空間的同構數據要少，因為不需要坐標軸集（參照系），這反映了向量分析在旋轉（特殊正交群SO(3)）下不變的事實。

更一般地說，向量分析可定義在任意3維有向黎曼流形，或更一般的偽黎曼流形上。這種結構就是每點的切空間都有內積與方向，更一般地說是有對稱非退化度量張量與方向。向量分析根據每點的切向量定義，所以有效。

其他維度

大多數分析結果都可以通過微分幾何機制輕鬆理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（產生調和分析）可輕易推廣到其他維度，而旋度和叉積則不能直接推廣。

從一般觀點來看，（3維）向量分析中的各種場被統一視作k向量場：純量場是0-向量場，向量場是1-向量場，偽向量場是2-向量場，偽純量場是3-向量場。在更高維度中，還有更多類似的場（純量/向量/偽向量/偽純量對應0/1/n-1/n維，這在3維中詳盡無遺），因此不能只用（偽）純量和（偽）向量。

在任意維度中，假定一個非退化形式，純量函數的梯度是向量場，而向量場的散度是純量函數，但只有3維、7維^[2]（1維、0維是平凡的）中，才能定義叉積（其他維度的推廣或要n-1個向量才能得到一個向量，或要用李代數代替，即更一般的反對稱雙線性積）。總之，向量場的旋度是二重向量場，可解釋為無窮小旋轉的特殊正交李代數；但這不能視作向量場，因為維數不同——3維旋轉有3維，但4維旋轉有6維（n維中的旋轉有${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$維）。

向量分析有兩個重要的替代性推廣。第一個是幾何代數，用k向量場（3維及以下時，k向量場都可用純量函數或向量場識別，但更高維並非如此）。外積取代了叉積，可在所有維度中，由兩個向量場輸出一個二重向量場。這產生了作為向量空間上代數結構的克里福代數（具有有向非退化形式）。幾何代數主要用於物理學等應用領域向更高維的推廣。

第二個運用微分形式（k余向量場），在數學中有廣泛應用，尤常見於微分幾何、幾何拓撲、調和分析等領域，在有向偽黎曼流形上產生了霍奇理論。從這個角度看，梯度、旋度、散度分別對應0形式、1形式、2形式的外導數，而向量分析的關鍵定理都是斯托克斯定理一般式的特例。

從這兩種推廣來看，向量分析隱式地標識了不同的數學物件，使表述更簡單，但底層的數學結構與推廣卻不那麼清晰。從幾何代數的角度來看，向量分析隱式地將k向量場與向量場與純量函數區分開來：0向量與3向量同純量有關，1向量和2向量同向量有關。從微分形式的角度來看，向量分析隱式地將k形式同純量場與向量場相聯繫：0形式、3形式與純量場有關，1形式、2形式與向量場有關。因此，舉例來說，旋度自然地將向量場或1形式作為輸入，將2向量場或2形式作為輸出（因此是偽向量場），然後將其解釋為向量場，而非直接從向量場映射到向量場，這在高維空間反映為旋度的輸出不是向量場。

參見

• 實函數
• 向量恆等式
• 在圓柱和球坐標系中的del
• 方向導數
• 保守矢量場
• 螺線矢量場
• 拉普拉斯矢量場
• 亥姆霍茲分解
• 正交坐標
• 偏斜坐標
• 曲線坐標
• 張量

參考文獻