離散型均勻分佈

在統計學及機率理論中，離散型均勻分佈是一種離散型機率分佈，其所有可能的觀察值數量為有限整數，且每一個觀察值的出現機率皆相同。

離散型均勻分佈

機率質量函數 n=5 where n=b-a+1
累積分佈函數
參數	${\displaystyle a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle n=b-a+1\,}$
值域	${\displaystyle k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,}$
機率質量函數	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}}$
累積分佈函數	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}}$
期望值	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
中位數	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
眾數	N/A
變異數	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}\,}$
偏度	${\displaystyle 0\,}$
峰度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,}$
熵	${\displaystyle \ln(n)\,}$
動差母函數	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,}$
特徵函數	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},}$

離散型均勻分佈的一個例子是擲公平骰子，其可能的觀察值為1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6，而每一個數字的出現機率都是1/6。但若同時丟二個均勻骰子，將其值相加，就不屬於離散型均勻分佈，因為各個和的機率不同。

雖然離散型均勻分佈常用來描述觀察值為連續整數的分佈，例如前述的擲骰子範例，但實際上可以在任意有限集合上定義離散型均勻分佈，例如隨機置換（英語：random permutation）就是由已知長度的置換中均勻隨機產生的組合，而均勻生成樹（英語：uniform spanning tree）則是從給定圖的生成樹集合中均勻隨機抽樣得到的生成樹。

離散型均勻分佈在本質上是非參數（non-parametric）的。不過，當觀察值的範圍恰好是區間[a,b]之間的整數時，則a和b可以被視為該分佈的參數（也常常改為考慮區間[1,n]，只保留一個參數n）。若用這種表示法，針對任意k ∈ [a,b]的累積分佈函數（CDF）為

${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$

最大值估計

主條目：德國坦克問題

關於離散型均勻分佈的一個常見問題是德國坦克問題：假設從未知整數區間${\displaystyle [1,N]}$抽樣出${\displaystyle k}$個觀察值，目標是根據觀察值估計未知最大值${\displaystyle N}$的可能值。此問題於二戰期間被用於估計德國坦克產量。

在此問題中，最大值的均勻最小方差無偏 (UMVU) 估計量為：

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$

其中 m 是樣本最大值，k 是樣本大小，而且無放回抽樣。 這可被看作為最大間距估計的一個非常簡單的例子。

該估計量的方差為：

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$

因此，估計量的標準差大約為${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$，也就是樣本之間差距的平均大小。

樣本最大值${\displaystyle m}$是總體最大值的最大似然估計，然而，該方法存在偏差。

若樣本沒有依序編號但可被識別或標記，則可透過標誌重捕法以估計族群規模。

隨機排列

主條目：隨機數列

有關均勻分佈隨機排列的固定點數量的機率分佈的說明，請參閱主條目。