維納-辛欽定理

在應用數學中，維納-辛欽定理（英語：Wiener–Khinchin theorem），又稱維納-辛欽-愛因斯坦定理或辛欽-柯爾莫哥洛夫定理。該定理指出：寬平穩隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅利葉轉換。^{[1][2][3][4][5][6][7]}

歷史

諾伯特·維納在1930年證明了這個定理對於確定性函數的情況；^[8] 辛欽後來對於平穩隨機過程得出了類似的結果並且於1934年發表了它。^[9][10] 阿爾伯特·愛因斯坦在1914年的一份簡短的備忘錄里闡述了這個想法，但並未給出證明。^[11]

連續時間過程的情形

對於連續時間的情形，維納-辛欽定理表明若 ${\displaystyle x}$ 是一個寬平穩過程，以致其由統計期望值 E 定義的自相關函數（有時稱作自協方差） ${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}\ }$ 存在，並對所有延遲 ${\displaystyle \tau }$ 都是有限的，則在頻域 ${\displaystyle -\infty <f<\infty }$ 存在一個單調函數 ${\displaystyle F(f)}$ 使得

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f)}$

其中該積分為黎曼－斯蒂爾傑斯積分。^[1][12] 這是自相關函數的一種譜分解。F 稱為功率譜分布函數，是一個統計分布函數。它有時稱作積分譜。

（星號表示復共軛，當隨機過程是實過程時可以將其省去。）

注意到 ${\displaystyle x(t)\,}$ 的傅利葉轉換不總是存在，因為平穩隨機過程不總是平方可積或絕對可積。也不會假定 ${\displaystyle r_{xx}}$ 是絕對可積的，所以也不需要有傅利葉轉換。

但若 ${\displaystyle F(f)}$ 是絕對連續的，例如當為純粹不確定過程時，${\displaystyle F}$ 幾乎處處可微。在這種情況下，可以通過對 ${\displaystyle F}$ 取平均導數來定義 ${\displaystyle x(t)\,}$ 的功率譜密度 ${\displaystyle S(f)}$。因為 ${\displaystyle F}$ 的左、右導數處處存在，所以處處都有 ${\displaystyle S(f)={\frac {1}{2}}(\lim _{\epsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\epsilon }}(F(f+\epsilon )-F(f))+\lim _{\epsilon \uparrow 0}{\frac {1}{\epsilon }}(F(f+\epsilon )-F(f)))}$，^[13] （得到 F 為其平均導數的積分^[14]），該定義簡化為

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{2\pi i\tau f}df.}$

若現在假設 r 和 S 滿足傅利葉反轉換存在的必要條件，維納-辛欽定理就能說 r 和 S 是一對傅利葉轉換對

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-2\pi if\tau }d\tau .}$

離散時間過程的情形

對於離散隨機過程${\displaystyle x[n]\ }$ ，其功率譜密度為

${\displaystyle S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf}}$

其中

${\displaystyle r_{xx}[k]=\operatorname {E} {\big [}\,x[n]x^{*}[n-k]\,{\big ]}\ }$

且

${\displaystyle S_{xx}(f)\ }$

是離散函數${\displaystyle x[n]\,}$的功率譜密度。由於${\displaystyle x[n]\,}$是取樣得到的離散時間序列，其譜密度在頻域上是周期函數。

應用

當輸入和輸出皆不可被方積，導致其傅利葉轉換不存在時，此定理可應用於分析線性非時變系統（LTI系統）。我們可知，LTI系統輸出的自相關函數之傅利葉轉換相等於系統輸入的自相關函數之傅利葉轉換與系統脈波響應之傅立葉轉換的平方之相乘。^[15]當輸入輸出訊號的傅利葉轉換不存在時，這仍舊成立，因為這些訊號不可被平方積分，因此系統的輸入和輸出無法和通過傅立葉轉換的脈波響應直接相關。

由於訊號自相關函數之傅利葉轉換是訊號的功率譜，這相當於說，輸出功率譜等於輸入功率譜乘以能量傳遞函數。

這被用在以參數化的方法估計功率譜。

表述差異

在許多教科書和在許多技術文獻是默認假定的自相關函數的傅利葉轉換和功率譜密度是有效的，以及維納-辛欽定理很簡單地指出，因為如果它表示傅利葉轉換自相關函數等於功率譜密度，忽略收斂所有的問題。^[16]（愛因斯坦就是一個例子）。但是定理（陳述為這裏），由諾伯特·維納和亞歷山大·辛欽應用於樣品的功能（訊號）寬感平穩隨機過程，訊號的傅立葉轉換是不存在的。維納的貢獻的全部意義是使一個寬義平穩隨機過程的一個樣本函數自相關函數的譜分解感即使在積分進行傅立葉轉換和傅立葉逆沒有任何意義。

有些人提到與R作為自協方差函數。他們然後進行歸一化，通過用R（0），劃分以獲得他們稱之為自相關函數。

參見

• 隨機過程
• 傅立葉轉換
• 譜密度