莫爾斯–帕萊引理

數學中，莫爾斯–帕萊引理（Morse–Palais lemma）是變分法與希爾伯特空間理論中的一個結果。粗略地講，它指出臨界點附近足夠光滑的函數在適當改變坐標後可表為二次型。 莫爾斯–帕萊引理最初是美國數學家馬斯頓·莫爾斯利用格拉姆-施密特正交化在有限維情形證明的。這一結論在莫爾斯理論中起着至關重要的作用。到希爾伯特空間的推廣歸功於理查德·帕萊和斯蒂芬·斯梅爾。

陳述

令${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$為實希爾伯特空間，並令U是H中原點的開鄰域。令${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$是${\displaystyle (k+2)}$-次連續可微函數，其中${\displaystyle k\geq 1}$，即${\displaystyle f\in C^{k+2}(U;\mathbb {R} )}$。設${\displaystyle f(0)=0}$，0是f的非退化臨界點，即二階導${\displaystyle D^{2}f(0)}$確定了H與其連續對偶空間${\displaystyle H^{*}}$的同構 $${\displaystyle H\ni x\mapsto \mathrm {D} ^{2}f(0)(x,-)\in H^{*}.}$$

則在U中存在0的子鄰域V、微分同胚映射${\displaystyle \varphi :V\to V}$（${\displaystyle C^{k}}$，逆也是${\displaystyle C^{k}}$）、可逆對稱算子${\displaystyle A:H\to H}$使得 $${\displaystyle f(x)=\langle A\varphi (x),\varphi (x)\rangle \quad \forall x\in V.}$$

推論

令${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$是${\displaystyle f\in C^{k+2}}$，使得0是非退化臨界點。則存在逆為${\displaystyle C^{k}}$的${\displaystyle C^{k}}$微分同胚映射${\displaystyle \psi :V\to V}$、正交分解 $${\displaystyle H=G\oplus G^{\perp },}$$ 使得若有 $${\displaystyle \psi (x)=y+z\quad {\mbox{ with }}y\in G,z\in G^{\perp },}$$ 則 $${\displaystyle f(\psi (x))=\langle y,y\rangle -\langle z,z\rangle \quad {\text{ for all }}x\in V.}$$

另見

• 弗雷歇導數

參考文獻

• Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc. 1972.