費雪法 (統計學)

費雪法（英語：Fisher's method），或稱費雪合併概率檢驗（英語：Fisher's combined probability test）是統計學中用於合併多個p值的方法，^[1][2]由羅納德·愛爾默·費雪所創，常應用於元分析。其基本形式是結合源於同一個虛無假設（H₀）之下多個獨立性檢驗的結果。

以費雪法合併兩個p值（P₁與P₂）。例如，當P₁與P₂皆為0.1時，合併之p值約為0.05。顏色最深的區域表示整體p值小於0.05。

應用

費雪法用於結合各個檢驗的極端值概率（即p值）成一個卡方統計量：

${\displaystyle X_{2k}^{2}\sim -2\sum _{i=1}^{k}\ln(p_{i})}$，

其中p_i為第i個檢驗之p值。當p_i較小則卡方統計量X²較大而拒絕整體虛無假設。

若所有的虛無假設皆為真，且p_i（或各統計檢驗量）皆相互獨立，則X²服從自由度為2k的卡方分佈，其中k表示所有參與的假設檢定個數。按此可以取得聯合檢驗之p值，即對多個p值進行合併。

此卡方統計量的分佈服從卡方分佈的原因是：對於每一個統計檢驗i，其p值（p_i）服從界於0至1的均勻分佈。均勻分佈取自然對數的相反數又服從指數分佈。指數分佈乘2又服從自由度為2的卡方分佈。最終，k項獨立的卡方統計量（每項自由度為2）之總和服從自由度為2k的卡方分佈。

獨立性前提的限制

當各檢驗不獨立時，X²偏大、整體p值偏小使推論過份偏好對立假設。因此，在不獨立的統計檢驗量間使用費雪法時，若整體p值較大較無所謂；但若整體p值很小則可能發生第一型錯誤。

獨立性前提的擴展

主條目：費雪法的擴展（英語：Extensions of Fisher's method）

在統計檢驗不相互獨立時，X²的虛無分佈（英語：Null distribution）並不單純。常見的策略是採用縮放過的卡方隨機變量近似虛無分佈。若已知p值間的協方差，亦存在其它近似方法。

以布朗法（英語：Extensions of Fisher's method）為例，^[3]該方法可用於結合二個相依p值，當其統計檢驗量為協方差矩陣已知的多元正態分佈。此外，科斯特法（英語：Extensions of Fisher's method）擴大了布朗法的條件：協方差矩陣由已知擴展至未知但具純量乘法常數即可。^[4]

在相依結構未知時，調和平均p值（英語：Harmonic mean p-value）可以代替費雪法，但仍不可假設檢驗相互獨立。^[5][6]

結果解讀

費雪法通常用於一系列相互獨立的統計檢驗，例如是具有相同虛無假設的各別研究。這與元分析的虛無假設經常是各別的虛無假設皆為真的情況相符。因此，費雪法結果若支持對立假設，則可解讀為至少存在一個對立假設為真。

在某些情況下，考慮各研究的「異質性」是有意義的，特別是某些研究支持虛無假設但某些支持對立假設，或是不同研究具有不同的對立假設。不同的對立假設形成的異質性可能是源於效果量在不同研究間不均。例如，考慮一系列針對葡萄糖攝取量對罹患第2型糖尿病的風險之研究，由於各研究間的對象存在遺傳或環境上的差異，特定葡萄糖攝取量所對應的罹患風險在各研究間亦可能不同。

在各別對立假設是全真或全偽的情況下，例如檢驗某種物理定律，單獨研究或實驗的結果若不一致則是偶然造成的，例如存在統計功效差異。

在元分析中若採用雙尾檢驗（英語：One- and two-tailed tests），即使部分各別研究指出存在強烈但方向不等的效果，仍可能拒絕整體虛無假設。在這種情況下，雖然可以解讀為至少存在一個研究中的虛無假設為偽，但這並不意味着應支持所有研究的對立假設。因此，雙尾元分析對對立假設中的異質性特別敏感。採用單尾檢驗（英語：One- and two-tailed tests）的元分析可以檢測效果量的異質性，但側重於單一且預先指定的影響方向。

與斯托夫Z值法的關係

斯托夫Z值法與費雪法的關係以z與−log(p)的關係表示。

斯托夫Z值法（由社會學家森姆·安德魯·史托福（英語：Samuel A. Stouffer）所創）與費雪法的作用相似，但前者可納入不同研究間具有不同的權重。^[7][8][9]

令Z_i  =  Φ ^− 1(1−p_i)，其中Φ為標準正態分佈的累積分佈函數，則

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}w_{i}Z_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}w_{i}^{2}}}}}$

稱為元分析的整體Z值，其中w為各研究的權重。

由於費雪法基於「平均p值」而斯托夫Z值法基於「平均z值」，二者的關係遵循z與−log(p) = −log(1−Φ(z))的關係。在正態分佈之下，二者並非線性關係，但z值經常存在的範圍（1至5）之內的關係較線性。因此，二種方法的統計功效通常很接近。