辮群

辮群（英語：Braid group）為數學領域中紐結理論的一個概念。一個${\displaystyle \ n}$ 股的辮群（記為${\displaystyle \ B_{n}}$）是元素為 n-braid 的群，其運算為前一個 n-braid 按後一個 n-braid 的方式操作（見 § 舉例說明）。

置換群 S4的24個元素

辮群是由美國數學家埃米爾·阿廷（於1925 年提出^[1]），因此又被稱為阿廷辮群（英語：Artin Braid group）。^[2]

引言

想像有4條橫著擺放的繩子，它們的兩端分別被固定在左右兩側的牆上。如下圖所示，黑點代表被固定的位置。

一種 4 股的辮子

我們稱這樣繩子的擺放方式，或是編織的方式為一個辮子（英語：braid）。而正式的寫法中會連繩子的數目也一起表達，將4股的辮子以英文簡寫成 4-braid。

如果將剛才的辮子中下面兩條的右端交換位置，會變成下圖的樣子。

另外一種 4 股的辮子

那麼這兩種會是不同的4股辮子(英語：4-braid)。 如果將這兩種辮子理解為群中的元素，那麼剛才把右端交換位置的操作就是群當中的運算。在辮群的討論中，常用這些操作來表示不同的辮子，這種表示方法稱作 braid word。^[2]

舉例說明

在這個小節中，以${\displaystyle \ n=4}$為例。

下面的兩條辮子是不同的：

不同於

但是下面的兩條辮子是相同的：

同於

所有的股都必須從左向右移動，所以下面的圖片並不是一條辮子：

不是辮子

我們可以編兩條辮子：

加

等於

另一個例子：

加

等於

複合 / 編織物σ和τ的組成寫為στ。

${\displaystyle B_{4}}$是四股上所有編織物的集合。上面的複合是群操作，單位元是四股水平平行股的辮子，辮子B的逆元素是取消B的操作。

應用

辮群的應用包括 陳-西蒙斯理論、亞歷山大定理（Alexander's Theorem）、楊-巴克斯特方程、 代數幾何、任意子、等。^[3]

• 流體力學、chaotic mixing、拓撲熵、Nielsen-Thurston分類^[4][5][6]
• 量子物理學、任意子、量子計算、量子信息

參見

• 阿廷群
• 結論