隆梅爾函數

隆梅爾函數是下列隆梅爾方程的兩類解：

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.}$

第一類隆梅爾函數

第二類隆梅爾函數

1880年數學家隆梅爾（英語：Eugen von Lommel）首先給出隆梅爾方程的兩個解，稱為隆梅爾函數：

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {1}{2}}\pi \left[Y_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }J_{\nu }(z)\,dz-J_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }Y_{\nu }(z)\,dz\right]}$

${\displaystyle \displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)-{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ({\frac {1+\mu +\nu }{2}})}{\pi \Gamma ({\frac {\nu -\mu }{2}})}}\left(J_{\nu }(z)-\cos(\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z)\right)}$

其中 J_ν(z) 是第一類貝索函數， Y_ν(z) 是第二類貝索函數。

參考文獻

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol II (PDF), McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1953 [2014-05-31], MR 0058756, （原始內容存檔 (PDF)於2011-07-14）
• Lommel, E., Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function, Math. Ann., 1875, 9 (3): 425–444, doi:10.1007/BF01443342
• Lommel, E., Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV, Math. Ann., 1880, 16 (2): 183–208, doi:10.1007/BF01446386
• Paris, R. B., 隆梅尔函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
• Solomentsev, E.D., l/l060800, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語）

外部連結

• Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. "Lommel Function." （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） From MathWorld—A Wolfram Web Resource.