隨機偏微分方程

隨機偏微分方程（英文：Stochastic partial differential equation，SPDE）為偏微分方程引入了隨機項和隨機係數，類似於隨機微分方程之於常微分方程。隨機微分方程在量子場論、統計力學、金融數學中有着廣泛的應用。^[1][2]

示例

最常見的SPDE之一是隨機熱傳導方程^[3] ，形式上可以寫作

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

其中${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子，${\displaystyle \xi }$表示時空白噪聲。其他例子還有知名方程的隨機版本，如波動方程^[4]和薛定諤方程。^[5]

討論

一個困難是缺乏正規性。在一個空間維度中，隨機熱傳導方程的解在空間上幾乎只有1/2-赫爾德連續，在時間上則只有1/4-赫爾德連續。對於二維及更高維度，解甚至不是函數值，但可以理解為隨機分布。

對於線性方程，通常可以通過半群手段找到溫和解（mild solution）。^[6] 然而，當考慮非線性方程時，問題就開始出現了。例如

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

其中${\displaystyle P}$是多項式。在這種情況下，我們甚至不知道該如何理解這個方程。這樣的方程在多維情形下也不會有數值解，因此也沒有點。眾所周知，分布空間沒有積結構。這是此類理論的核心問題。這就需要某種形式的重整化。

為規避某些特定方程的此類問題，早期的嘗試是所謂的「普拉托-德布斯切技巧」（da Prato–Debussche trick），即把此類非線性方程作為線性方程的擾動來研究。^[7]然而，這只能在非常受限的環境中使用，因為它既取決於非線性因子，也取決於驅動噪聲項的正規性。近年來，這一領域急劇擴大，現在已有大型機制可以保證各種亞臨界SPDE的局部存在性。^[8]

另見

• 布朗面
• KPZ方程
• 庫什納方程
• 威克積