馬爾可夫不等式

在概率論中，馬爾可夫不等式（英語：Markov's inequality）給出了隨機變量的函數大於等於某正數的概率的上界。雖然它以俄國數學家安德雷·馬爾可夫命名，但該不等式曾出現在一些更早的文獻中，其中包括馬爾可夫的老師——柴比雪夫。

馬爾可夫不等式提供了${\displaystyle f(x)}$超過某特定數值${\displaystyle \epsilon }$（圖中標示紅色線處）概率的上界，其上界包括了特定數值${\displaystyle \epsilon }$及${\displaystyle f}$的平均值

馬爾可夫不等式把概率關聯到數學期望值，給出了隨機變量的累積分佈函數一個寬泛但仍有用的界。

馬爾可夫不等式的一個應用是，不超過1/5的人口會有超過5倍於人均收入的收入。

表達式

X為一非負隨機變量，則

${\displaystyle \mathrm {P} (X\geq a)\leq {\frac {\mathrm {E} (X)}{a}}.}$^[1]

若用測度領域的術語來表示，馬爾可夫不等式可表示為若(X, Σ, μ)是一個測度空間，ƒ為可測的擴展實數的函數，且${\displaystyle \epsilon \geq 0}$，則

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .}$

有時上述的不等式會被稱為柴比雪夫不等式^[2]。

對於單調遞增函數的擴展版本

若φ是定義在非負實數上的單調遞增函數，且其值非負，X是一個隨機變量，a ≥ 0，且φ(a) > 0，則

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

證明

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {E}}(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&=\int _{0}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }af(x)dx\\[6pt]&=a\int _{a}^{\infty }f(x)dx\\[6pt]&=a{\textrm {P}}(X\geqslant a).\end{aligned}}}$

用來推導柴比雪夫不等式

柴比雪夫不等式使用方差來作為一隨機變量超過平均值概率的上限，可以用下式表示：

${\displaystyle \Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},}$

對任意a>0，Var(X)為X的方差，定義如下：

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$

若以馬爾可夫不等式為基礎，柴比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變量

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$

根據馬爾可夫不等式，可得到以下的結果

${\displaystyle \Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

矩陣形式的馬爾可夫不等式

令${\displaystyle M\succeq 0}$為自共軛矩陣形式的隨機變量，且${\displaystyle a>0}$，則

${\displaystyle \Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}}.}$

應用實例

• 馬爾可夫不等式可用來證明柴比雪夫不等式。
• 馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變量，其平均值${\displaystyle \mu }$和中位數${\displaystyle m}$滿足${\displaystyle m\leq 2\mu }$的關係。

參見

• 柴比雪夫不等式