黎曼曲率張量

在微分幾何中，黎曼曲率張量（英語：Riemann curvature tensor）或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式，更普遍的，它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率，包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的，一個仿射聯絡)${\displaystyle \nabla }$(或者叫協變導數)由下式給出:

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$

這裏${\displaystyle R(u,v)}$是一個流形切空間的線性變換；它對於每個參數都是線性的。

注意有些作者用相反的符號定義曲率.

如果${\displaystyle u={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ 與 ${\displaystyle v={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ 是坐標向量場則${\displaystyle [u,v]=0}$所以公式簡化為

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}$

也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性。

線性變換${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$也稱曲率變換。

對稱性和恆等式

進一步,由上式定義了如下的三重線性映射

• ${\displaystyle R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,}$

映射${\displaystyle R}$關於每一個自變量都是${\displaystyle C^{\infty }}$線性的, 故${\displaystyle R}$是${\displaystyle M}$上的${\displaystyle (1,3)}$型光滑張量場, 稱之為仿射聯絡空間${\displaystyle (M,\nabla )}$的曲率張量. 在坐標向量場下，${\displaystyle R}$ 可以表示為

• ${\displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}$

還可以定義四重線性映射，如下

• ${\displaystyle R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),}$

則映射 ${\displaystyle R}$關於每一個自變量都是${\displaystyle C^{\infty }}$ 線性的, 故${\displaystyle R}$是黎曼流形${\displaystyle (M,g)}$上的 ${\displaystyle (0,4)}$ 型光滑張量場, 稱之為黎曼流形 ${\displaystyle (M,g)}$ 的黎曼曲率張量. 在坐標向量場下, ${\displaystyle R}$ 可以表示為

• ${\displaystyle R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}$

• 註：上述紡射聯絡空間 ${\displaystyle (M,\nabla )}$上的曲率張量 ${\displaystyle R}$與黎曼流形 ${\displaystyle (M,g)}$ 上的黎曼曲率張量 ${\displaystyle R}$ 是同一個對象的不同表現形式.
• 注 ${\displaystyle R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}}$.

黎曼曲率張量有如下的對稱性:

• ${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}$
• ${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}$
• ${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$

最後一個恆等式由里奇發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity)，因為和下面的比安基恆等式相像。

這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表，也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量，可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有${\displaystyle {\frac {n^{2}(n^{2}-1)}{12}}}$個獨立分量。

另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}$

比安基恆等式(Bianchi identity)，經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}$

給定流形某點的任一坐標表示，上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:

• ${\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\,}$
• ${\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}\,}$

• 第一（代數）比安基恆等式：${\displaystyle R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0\,}$或等價地寫為${\displaystyle R_{a[bcd]}=0\,}$

• 第二（微分）比安基恆等式：${\displaystyle \nabla _{e}R_{abcd}+\nabla _{d}R_{abec}+\nabla _{c}R_{abde}=0\,}$或等價地寫為${\displaystyle R_{ab[cd;e]}=0\,}$

其中方括號表示對下標的反對稱化，分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用，特別是廣義相對論。

相關條目

• 黎曼流形的曲率
• 截面曲率
• 曲率形式

外部連結

• （英文）Wolfram MathWorld —— Riemann Tensor（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）、Bianchi identity（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）、Contracted Bianchi identity（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The Riemann Curvature Through History (pdf) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）