藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一種用來描述同步的數學模型，由日本物理學家藏本由紀（Kuramoto Yoshiki）首先提出^[1][2]。具體說來，它描述了大量耦合振子的同步行為^[3][4]。這個模型原本是為了描述化學振子、生物振子而構建，後發現具有廣泛的應用，例如神經振盪^[5][6][7]，以及振盪火焰的動力學^[8][9]。驚人的是，一些物理系統的行為也符合這個模型，比如耦合約瑟夫森結的陣列^[10]。

這個模型假設，所有振子都是完全相同的或幾乎完全相同的，相互之間的耦合很弱、並且任意兩個振子之間的相互作用強度取決於它們相位差的正弦。

定義

在藏本模型最常見的版本中，每個振子都有一個固有的自然頻率${\displaystyle \omega _{i}}$，並與所有其它振子以相同的強度耦合。驚人的是，在${\displaystyle N\to \infty }$的極限下，通過巧妙的變換並使用平均場方法，這個完全非線性的模型是可以精確求解的。

藏本模型中的鎖相

這個模型最常見的形式由以下方程組給出：

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}},\quad i=1,\cdots ,N}$

系統由${\displaystyle N}$個極限環振子組成，${\displaystyle \theta _{i}}$是第${\displaystyle i}$個振子的相位，${\displaystyle K}$是耦合強度。

也可以在系統中加入噪聲。這種情況下，方程變為

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}+\zeta _{i},\quad i=1,\cdots ,N}$

其中${\displaystyle \zeta _{i}}$是漲落，並且是時間的函數。如果考慮白噪聲的情況，則：

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0,}$

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

其中${\displaystyle D}$代表噪聲強度。

變換

使得這個模型（至少在${\displaystyle N\to \infty }$的極限下）能夠精確求解的變換如下所示：

定義「序」參量

${\displaystyle Re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{e^{i\theta _{j}}}}$

${\displaystyle R}$表徵了這群振子的相位相關性，${\displaystyle \psi }$是平均相位。方程兩邊乘以${\displaystyle e^{-{\text{i}}\theta _{i}}}$，只考慮虛部得到：

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+KR\sin {(\psi -\theta _{i})}}$

因此振子的方程組就不是顯式耦合的；相反，序參量支配了系統的行為。通常還會做進一步的變換，變換到一個轉動的坐標系，其中所有振子相位的統計平均為零（即${\displaystyle \psi =0}$）。最終，方程變為：

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-KR\sin {\theta _{i}}}$

大N極限

考慮${\displaystyle N\to \infty }$的情況。自然頻率的分佈記為${\displaystyle g(\omega )}$（假設已經歸一化）。設在時刻${\displaystyle t}$，在所有自然頻率為${\displaystyle \omega }$的振子中，相位為${\displaystyle \theta }$的振子所佔比例為${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$。歸一化要求

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta ,\omega ,t)d\theta }=1}$

振子密度的連續性方程為

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial \theta }}=0}$

其中${\displaystyle v=\omega +KR\sin {(\psi -\theta )}}$是振子的漂移速度。

最終，在連續統極限下重新寫出序參量。${\displaystyle \theta _{i}}$應該用系綜平均來代替，求和替換為積分，得到

${\displaystyle Re^{i\psi }=\int _{0}^{2\pi }{\int _{-\infty }^{\infty }{\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )e^{i\theta }d\omega }d\theta }}$

解

所有振子隨機漂移的不相關態對應均勻分佈解${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2\pi }}}$。這種情況${\displaystyle R=0}$，振子之間沒有關聯。系統整體處於統計穩定態，儘管每個振子單獨來看都在以自然頻率不停運動。

當耦合足夠強時，可能會出現完全同步的解。在完全同步態中，所有振子以相同頻率運動，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的狀態。從數學上來說，對鎖相的振子

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin {\frac {\omega }{KR}}\right)}$

對漂移的振子，

${\displaystyle \rho \propto {\frac {1}{\omega -KR\sin {(\theta -\psi )}}}}$

與哈密頓系統的聯繫

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密頓系統中^[11]，哈密頓量具有形式：

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\frac {1}{2}}\omega _{i}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}{(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}}$

用正則變換變成作用量-角度的形式，作用量為${\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}$，角度（相位）${\displaystyle \theta _{i}=\arctan {\frac {q_{i}}{p_{i}}}}$，在作用量${\displaystyle I_{i}\equiv I}$為常數的不變流形上就是藏本動力學。變換後的哈密頓量

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\omega _{i}I_{i}}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}}$

哈密頓運動方程為

${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\cos {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}/I_{i}}}(I_{i}+I_{j})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}$

因為${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}$，所以${\displaystyle I_{i}=I}$確定的流形是不變的，並且相位動力學${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}}$就是藏本模型的動力學。這類哈密頓系統描述了某些量子-經典系統，包括玻色-愛因斯坦凝聚。

模型的變體

模型有兩種類型的變體，一種改變模型的拓撲結構，另一種改變耦合函數的形式。

改變拓撲

除了具有全連拓撲的原始模型，足夠稠密的複雜網絡拓撲也可以用同樣的平均場處理^[12]。而對於局域的行為，例如鏈形或環形網絡上的情況，不能再使用經典的平均場方法，所以只能具體問題具體分析，儘可能利用對稱性獲取解的信息。

改變相位的相互作用

藏本把兩個振子之間的相位相互作用用第1個傅里葉分量來近似，即${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi }$，其中${\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}}$。通過把高階傅里葉分量包括進來，可以得到更好的近似

${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi +a_{1}\sin {(2\phi +b_{1})}+\cdots +a_{n}\sin {(2n\phi +b_{n})}}$

例如，對於弱耦合Hodgkin-Huxley神經元的網絡，其同步行為可以用一些振子來表示，這些振子的相互作用函數保留前四階傅里葉分量^[13]。高階項的引入也能帶來有趣的同步現象，例如異宿環^[14]、部分同步態^[15]、以及奇美拉態^[16]。