奧恩斯坦-烏倫貝克過程

在數學中，奧恩斯坦-烏倫貝克過程（Ornstein-Uhlenbeck process，簡稱OU過程）是一個隨機過程，在金融數學和物理學中有很多的引用。OU過程描述一個經歷摩擦的布朗粒子（damped random walk）。^[1]

這個過程以奧恩斯坦（Leonard Ornstein）和喬治·烏倫貝克的名字命名。

這是一個自迴歸模型AR(1)。

θ =1.0，σ =3和μ =(0,0) 粒子在(10,10)開始

定義

θ =1.0，σ =3, μ =(0,0,0) 粒子在(10,10,10)開始

OU過程有下面的隨機微分方程

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

其中的 ${\displaystyle \theta >0}$ ， ${\displaystyle \sigma >0}$ 是參數，並且 ${\displaystyle W_{t}}$ 是維納過程。^[2][3][4]

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

${\displaystyle \mu }$ 是常值。上面的方程是Vasicek模型。^[5]

福克–普朗克方程

OU過程的福克–普朗克方程是^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$。這是一個拋物偏微分方程。方程的解是

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]}$

三個OU進程，θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
藍：在a = 0 開始（幾乎必然）
綠：在a=2開始
紅：初始值呈正態分布

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