學生t檢驗

司徒頓t 檢驗（英語：Student's t-test）是指虛無假設成立時的任一檢驗統計有司徒頓t分佈的統計假設檢定，屬於母數統計。司徒頓t檢驗常作為檢驗一群來自正態分配總體的獨立樣本之期望值是否為某一實數，或是二（兩）群來自正態分配總體的獨立樣本之期望值的差是否為某一實數。舉個簡單的例子，在某個學校中我們可以從某個年級中隨機抽樣一群男生，以檢驗該年級男生與全校男生之身高差異程度是否如我們所假設的某個值。

由來

司徒頓t檢驗是威廉·戈塞為了觀測釀酒品質於1908年所提出的，「司徒頓 (student)」則是他的筆名。^[1][2][3][4] 基於克勞德·健力士（Claude Guinness）聘用從牛津大學和劍橋大學出來的最好的畢業生，^[2]以將生物化學及統計學應用到健力士工業流程的創新政策，戈塞受僱於都柏林的健力士釀酒廠擔任統計學家。戈塞提出了t檢驗以降低啤酒重量監控的成本。戈塞於1908年在《Biometrika（英語：Biometrika）》期刊上公布t檢驗，但因其老闆認為其為商業機密而被迫使用筆名，統計學論文內容也跟釀酒無關。實際上，其他統計學家是知道戈塞真實身份的。

應用

常見的應用有：

• 單樣本檢驗：檢驗一個正態分佈的總體的均值是否在滿足虛無假設的值之內，例如檢驗一群軍校男生的身高的平均是否符合全國標準的170公分界線。
• 獨立樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗（雙樣本）：其虛無假設為兩個正態分佈的總體的均值之差為某實數，例如檢驗二群人之平均身高是否相等。若兩總體的方差是相等的情況下（同質方差），自由度為兩樣本數相加再減二；若為異方差（總體方差不相等），自由度則為Welch自由度，此情況下有時被稱為Welch檢驗。
• 配對樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗（成對樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗）：檢驗自同一總體抽出的成對樣本間差異是否為零。例如，檢測一位病人接受治療前和治療後的腫瘤尺寸大小。若治療是有效的，我們可以推定多數病人接受治療後，腫瘤尺寸將縮小。
• 檢驗一迴歸模型的偏迴歸係數是否顯著不為零，即檢驗解釋變數 ${\displaystyle X}$ 是否存在對被解釋變數Y的解釋能力，其檢驗統計量稱之為t-比例（t-ratio）。

前提假設

大多數的 ${\displaystyle t}$ 檢驗之統計量具有${\displaystyle t={\frac {Z}{s}}}$的形式，其中 ${\displaystyle Z}$ 與 ${\displaystyle s}$ 是已知資料的函數。${\displaystyle Z}$ 通常被設計成對於對立假設有關的形式，而 ${\displaystyle s}$ 是一個比例母數使 ${\displaystyle t}$ 服從於 ${\displaystyle t}$ 分佈。以單樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗為例，${\displaystyle Z={\frac {\bar {X}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}$，其中${\displaystyle {\bar {X}}}$為樣本平均數，${\displaystyle n}$為樣本數，${\displaystyle \sigma }$為總體標準差。至於 ${\displaystyle s}$ 在單樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗中為${\displaystyle {\frac {\hat {\sigma }}{\sigma }}}$，其中${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$為樣本的標準差。在符合零假說的條件下，${\displaystyle t}$ 檢驗有以下前提：

• ${\displaystyle Z}$ 服從標準正態分佈
• ${\displaystyle (n-1)s^{2}}$ 服從自由度${\displaystyle (n-1)}$的卡方分佈
• ${\displaystyle Z}$ 與 ${\displaystyle s}$ 互相獨立

計算

單樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗

檢驗虛無假設為一群來自正態分配獨立樣本 ${\displaystyle x_{i}}$ 之總體期望值 ${\displaystyle \mu }$ 為 ${\displaystyle \mu _{0}}$可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{\frac {s}{\sqrt {n}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n}$，${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$為樣本平均數，${\displaystyle s={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}}$為樣本標準差，${\displaystyle n}$ 為樣本數。該統計量 ${\displaystyle t}$ 在虛無假設：${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ 為真的條件下服從自由度為 ${\displaystyle n-1}$ 的t分佈。

配對樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗

配對樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗可視為單樣本 ${\displaystyle t}$ 檢驗的擴展，不過檢驗的對象由一群來自正態分配獨立樣本更改為兩配對樣本之觀測值之差。

若兩配對樣本 ${\displaystyle x_{1i}}$ 與 ${\displaystyle x_{2i}}$ 之差為 ${\displaystyle d_{i}=x_{1i}-x_{2i}}$ 獨立且來自正態分配，則 ${\displaystyle d_{i}}$ 之總體期望值 ${\displaystyle \mu }$ 是否為 ${\displaystyle \mu _{0}}$ 可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {d}}-\mu _{0}}{s_{d}/{\sqrt {n}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n}$，${\displaystyle {\overline {d}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}}{n}}}$為配對樣本差值之平均數，${\displaystyle s_{d}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-{\overline {d}})^{2}}{n-1}}}}$為配對樣本差值之標準差，${\displaystyle n}$ 為配對樣本數。該統計量 ${\displaystyle t}$ 在虛無假設：${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ 為真的條件下服從自由度為 ${\displaystyle n-1}$ 的t分佈。

獨立雙樣本t檢驗

同質方差假設 (Homoscedasticity)、樣本數相等

若兩獨立樣本 ${\displaystyle x_{1i}}$ 與 ${\displaystyle x_{2i}}$ 具有相同之樣本數 ${\displaystyle n}$，且來自兩個總體方差相同（同質方差假設）的正態分配，則兩總體之期望值差 ${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$ 是否為 ${\displaystyle \mu _{0}}$ 可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {\frac {2s_{p}^{2}}{n}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n}$，${\displaystyle {\overline {x}}_{1}=(\sum _{i=1}^{n}x_{1i})/n}$及${\displaystyle {\overline {x}}_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{2i}}{n}}}$為兩樣本各自的平均數，${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{2i}-{\overline {x}}_{2})^{2}}{2n-2}}}$為樣本之共同方差。該統計量 ${\displaystyle t}$ 在虛無假設：${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=\mu _{0}}$ 為真的條件下服從自由度為 ${\displaystyle 2n-2}$ 的t分佈。

同質方差假設 (Homoscedasticity)、樣本數不相等

若兩獨立樣本 ${\displaystyle x_{1i}}$ 與 ${\displaystyle x_{2j}}$ 具有不相同之樣本數 ${\displaystyle n_{1}}$ 與 ${\displaystyle n_{2}}$，且來自兩個總體方差相同（同質方差假設）的正態分配，則兩總體之期望值之差 ${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$ 是否為 ${\displaystyle \mu _{0}}$ 可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {{\frac {s_{p}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{p}^{2}}{n_{2}}}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n_{1}}$，其中${\displaystyle j=1\ldots n_{2}}$，${\displaystyle {\overline {x}}_{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{1i}}{n}}}$ 及 ${\displaystyle {\overline {x}}_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{2i}}{n}}}$ 為兩樣本各自的平均數，${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}+\sum _{j=1}^{n}(x_{2j}-{\overline {x}}_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}$ 為兩樣本共同之方差。該統計量 ${\displaystyle t}$ 在虛無假設：${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=\mu _{0}}$ 為真的條件下服從自由度為 ${\displaystyle n_{1}+n_{2}-2}$ 的t分佈。

異方差假設 (Heteroscedasticity)

若兩獨立樣本 ${\displaystyle x_{1i}}$ 與 ${\displaystyle x_{2j}}$ 具有相同或不相同之樣本數 ${\displaystyle n_{1}}$ 與 ${\displaystyle n_{2}}$，且兩者總體方差不相等（異方差假設）的正態分配，則兩總體之期望值之差 ${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$ 是否為 ${\displaystyle \mu _{0}}$ 可利用以下統計量

${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2}-\mu _{0}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}$

其中${\displaystyle i=1\ldots n_{1}}$，其中 ${\displaystyle j=1\ldots n_{2}}$，${\displaystyle {\overline {x}}_{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n_{1}}x_{1i}}{n_{1}}}}$ 及 ${\displaystyle {\overline {x}}_{2}={\frac {\sum _{j=1}^{n_{2}}x_{2j}}{n}}}$ 為兩樣本各自的平均數，${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{1i}-{\overline {x}}_{1})^{2}}{n_{1}-1}}}$ 及 ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {\sum _{j=1}^{n}(x_{2j}-{\overline {x}}_{2})^{2}}{n_{2}-1}}}$ 分別為兩樣本之方差。該統計量t在虛無假設：${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=\mu _{0}}$ 為真的條件下服從自由度為

${\displaystyle df={\frac {({\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}})^{2}}{{\frac {({\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}})^{2}}{n_{1}-1}}+{\frac {({\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}})^{2}}{n_{2}-1}}}}}$

之t分佈。這種方法又常稱為Welch檢驗。

其它相關檢驗

偏迴歸係數是否為零之檢驗

以簡單線性迴歸為例

主條目：線性回歸 § 單變數線性迴歸

模型假設：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i},}$

其中 ${\displaystyle x_{i}}$，${\displaystyle i=1,\cdots ,n}$ 為已知，${\displaystyle \alpha }$ 與 ${\displaystyle \beta }$ 為未知係數，${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ 為殘差獨立且服從期望值0且方差 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 未知的正態分佈，${\displaystyle y_{i}}$，${\displaystyle i=1,\cdots ,n}$ 為觀測值。我們可以檢驗迴歸係數 ${\displaystyle \beta }$ 是否相等於特定的 ${\displaystyle \beta _{0}}$，通常使 ${\displaystyle \beta _{0}=0}$ 以檢驗 ${\displaystyle x_{i}}$ 對 ${\displaystyle y_{i}}$ 是否存在解釋能力，在此例（簡單線性迴歸模型）即為檢驗迴歸式之斜率是否為零。

令${\displaystyle {\widehat {\alpha }}}$與${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$為最小平方法之估計值，${\displaystyle SE_{\widehat {\alpha }}}$與${\displaystyle SE_{\widehat {\beta }}}$為最小平方法估計值之標準誤差，則

${\displaystyle t={\frac {{\widehat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\widehat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

在虛無假設為 ${\displaystyle \beta =\beta _{0}}$ 的情況下服從自由度為 ${\displaystyle n-2}$ 之 ${\displaystyle t}$ 分佈，此檢驗統計量被稱作「t比率 (t-ratio)」，其中

${\displaystyle SE_{\widehat {\beta }}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\widehat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}}$

由於 ${\displaystyle {\widehat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\widehat {y}}_{i}=y_{i}-({\widehat {\alpha }}+{\widehat {\beta }}x_{i})}$為殘差（即估計誤差），而 ${\displaystyle {\text{SSR}}=\sum _{i=1}^{n}{\widehat {\varepsilon }}_{i}^{\;2}}$ 為殘差之離均平方和，我們可改寫t為

${\displaystyle t={\frac {({\widehat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {\text{SSR}}{\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}}}}$

另請參閱：F檢驗

電腦軟件

大多數的試算表軟件及統計軟件，諸如QtiPlot、OpenOffice.org Calc、LibreOffice Calc、Microsoft Excel、SAS、SPSS、Stata、DAP、gretl、R、Python ([1]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）)、PSPP、Minitab等，都可以進行t檢驗運算。

程式語言/軟件程序	函數	註釋
Microsoft Excel 2010 之前的版本	TTEST(array1, array2, tails, type)	參見 [2]
Microsoft Excel 2010 及更高版本	T.TEST(array1, array2, tails, type)	參見 [3]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
LibreOffice	TTEST(Data1; Data2; Mode; Type)	參見 [4]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Google Sheets	TTEST(range1, range2, tails, type)	參見 [5]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Python	scipy.stats.ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True)	參見 [6]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Matlab	ttest(data1, data2)	參見 [7]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Mathematica	TTest[{data1,data2}]	參見 [8]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
R	t.test(data1, data2)
SAS	PROC TTEST	參見 [9]
Java	tTest(sample1, sample2)	參見 [10]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Julia	EqualVarianceTTest(sample1, sample2)	參見 [11]
Stata	ttest data1 == data2	See [12]（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參見

• 司徒頓t分佈
• F檢驗
• 概率分佈