Tanh函數展開法

Tanh 函數展開法是目前求解非線性偏微分方程行波解的最強勁的和行之有效的方法。1992年數學家 Malfliet 首先應用 tanh 展開法^[1] 運用這個方法要進行的大量繁雜的運算，必須藉助Maple、Mathematica、Matlab等計算機代數系統。

設一個非線性偏微分方程可以用下列表述：

${\displaystyle \psi (u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{xx},u_{tx})=0}$

作變數代換：

${\displaystyle u(x,t)}$→ ${\displaystyle U(\xi )}$

${\displaystyle \xi =k*(x-c*t)}$

得到常微分方程

${\displaystyle \psi (U(\psi ),-kc*{\frac {dU}{d\psi }},k*{\frac {dU}{d\psi }},}$${\displaystyle k^{2}*c^{2}*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}}}$${\displaystyle ,k^{2}*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}},-k^{3}*c^{3}*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}},k^{3}*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}})=0}$

作Malfliet 的 tanh 函數代換，引入新函數：

${\displaystyle Y=tanh(\xi )}$

由此：

${\displaystyle {\frac {dY}{d\xi }}=1-tanh^{2}(\xi )=1-Y^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dF(Y)}{d\xi }}={\frac {dF(Y)}{dY}}*{\frac {dY}{d\xi }}={\frac {dF(Y)}{dY}}*(1-Y^{2})}$

顯然

${\displaystyle {\frac {d}{d\xi }}=L=(1-Y^{2})*{\frac {d}{dY}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\xi ^{2}}}=L^{2}=-2*(1-Y^{2})*Y*{\frac {d}{dY}}+(1-Y^{2})^{2}*{\frac {d^{2}}{dY^{2}}}}$

依此類推。 設 F(Y)=Σ(a_{i}*Y^i)

代入 常微分方程 ${\displaystyle \psi (U(\psi ),-kc*{\frac {dU}{d\psi }},k*{\frac {dU}{d\psi }},}$${\displaystyle k^{2}*c^{2}*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}}}$${\displaystyle ,k^{2}*{\frac {d^{2}U}{d\psi ^{2}}},-k^{3}*c^{3}*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}},k^{3}*{\frac {d^{3}U}{d\psi ^{3}}})=0}$

得到Y的多項式。用機械代數法或吳文俊消元法解多項式，反代入原式，即得偏微分方程的行波解。

實例

用tanh函數展開法求KdV方程的行波解^[2]。

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0}$

作行波代換

${\displaystyle tr1:={t=tau,u=U(\xi ),x=\xi /k+c*tau}}$ 得常微分方程：

${\displaystyle -ck{\frac {dU(\xi )}{d\xi }}+6kU(\xi ){\frac {dU(\xi )}{d\xi }}+k^{3}{\frac {d^{3}U(\xi )}{d\xi ^{3}}}=0}$

對ξ積分，得：

${\displaystyle -ckU(\xi )+3kU(\xi )^{2}+k^{3}{\frac {d(U(\xi )}{d^{2}\xi ^{2}}}=0}$ 令 ${\displaystyle U(\xi )=F(Y)}$得：

${\displaystyle -ckF(Y)+3kF(Y)^{2}+k^{3}(1-Y^{2})(-2Y{\frac {d(F(Y)}{dY}}+(1-Y^{2}){\frac {d^{2}(F(Y)}{d^{2}Y}})=0}$

令 ${\displaystyle U(\xi )=F(Y)=a[0]+a[1]Y+a[2]Y^{2}+a[3]Y^{3}+a[4]Y^{4}+a[5]Y^{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +a[M]Y^{M}+}$…… 得： $${\displaystyle -ck(a[0]+a[1]Y+a[2]Y^{2}+a[3]Y^{3}+a[4]Y^{4}+a[5]Y^{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +a[M]Y^{M})+3k(a[0]+a[1]Y+a[2]Y^{2}+a[3]Y^{3}+a[4]Y^{4}+a[5]Y^{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +a[M]Y^{M})^{2}+k^{3}(1-Y^{2})(-2Y(a[1]+2a[2]Y+3a[3]Y^{2}+4a[4]Y^{3}+5a[5]Y^{4}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +Ma[M]Y^{M-1})+(1-Y^{2})(2a[2]+6a[3]Y+12a[4]Y^{2}+20a[5]Y^{3}+30a[6]Y^{4}))}$$

由此得 M=2;而且：

${\displaystyle (3ka[2]^{2}+6k^{3}a[2])Y^{4}+(2k^{3}a[1]+6ka[1]a[2])Y^{3}+}$${\displaystyle (-cka[2]+3ka[1]^{2}+6ka[0]a[2]-8k^{3}a[2])Y^{2}+}$${\displaystyle (-cka[1]+6ka[0]a[1]-2k^{3}a[1])Y-cka[0]+3ka[0]^{2}+2k^{3}a[2]=0}$

令係數為0，得下列關於 a[0],a[1],a[2],c,k 的五元多項式方程組：

${\displaystyle -cka[0]+3ka[0]^{2}+2k^{3}a[2]=0}$

${\displaystyle -cka[1]+6ka[0]a[1]-2k^{3}a[1]=0}$

${\displaystyle >-cka[2]+3ka[1]^{2}+6ka[0]a[2]-8k^{3}a[2]=0}$

${\displaystyle 2k^{3}a[1]+6ka[1]a[2]=0}$

${\displaystyle 3ka[2]^{2}+6k^{3}a[2]=0}$

利用Maple,Mathematica,Matlab等計算機代數系統，解多項式方程組，得兩組非平凡解：

a[0]=2k^2,a[1]=0,a[2]=-2k^2,c=4k^2;

a[0]=(2/3)k^2,a[1]=0,a[2]=-2k^2,c=-4k^2;

於是KdV 方程的行波解為：

${\displaystyle u(x,t)=2k^{2}(1-tanh^{2}(k(x-4k^{2}t))=2k^{2}sech^{2}(k(x-4k^{2}t))}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{3}}k^{2}(1-3tanh^{2}(k(+4k^{2}t)))}$

推廣

Malfliet 的tanh 函數展開法被後人推廣到 三角函數、雅可比橢圓函數、魏爾斯特拉斯橢圓函數。

JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN, WeierstrassP, arcsinh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp, ln, sec, sech, sin, sinh, tan, tanh 等。

軟件包

Maple商業計算機代數系統內包括一個求解偏微分方程的軟件包，可用於多種非線性性偏微分方程，求得顯式解析解。這個軟件包稱為為TWSolutions,功能豐富，可求多數非線性偏微分方程的行波解，但仍非萬能，對有些非線性偏微分方程無解或只有平凡解^[3]

基本用法

tws:={TWSolutions(pdes,functions = [arcsinh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, exp, identity, ln, sec, sech, sin, sinh, tan, tanh, JacobiCN, JacobiDN, JacobiNC, JacobiND, JacobiNS, JacobiSN])};

其中 pdes 代表 非線性偏微分方程，或非線性偏微分方程組；若function= 列出所有可用的函數集合，常可一下子給出十幾個到幾十個解如果不寫"function="，則只作tanh展開^[3]。用包括所有可用函數的Tanh 函數展開法在Intel Core i7筆記本電腦計算，一道非線性偏微分方程往往需時幾十分以至十幾小時。

中國數學家李志斌寫了一個名為RATH 的Maple學術軟件包，用雙曲函數展開法和吳文俊消元解非線性偏微分方程 ^[4]軟件包RATH可以下載^[5]。