三十二元数

在数学中，三十二元数（英语：Trigintaduonion）是指32个维度的代数系统^[2]。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森构造生成的32维代数系统^[3]。这种代数系统不是可除代数，且不具备交换律和结合律。^[1]

三十二元数
符号	${\displaystyle \mathbb {T} }$[1]
种类	非结合代数
单位	${\displaystyle e_{0}}$、 ${\displaystyle e_{1}}$、......、 ${\displaystyle e_{30}}$ 及${\displaystyle e_{31}}$
乘法单位元	${\displaystyle e_{0}}$
主要性质	幂结合性 含零因子
数字系统
${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 有理数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 四元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 三十二元数
查 论 编

性质

以凯莱-迪克森构造生成的三十二元数本身包含了十六元数、八元数、四元数、复数和实数，也就是说实数包含于复数、复数包含于四元数、四元数包含于八元数、八元数包含于十六元数、十六元数包含于三十二元数。

${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

其中${\displaystyle \mathbb {T} }$为三十二元数。后面仍能持续推广为六十四元数、一百二十八元数等。^[1]

乘法表

高维超复数的乘法表可以透过低维超复数的乘法表推广以产生，因此三十二元数的乘法表有一部分与十六元数、八元数的乘法表相同，其余部分能透过推广的方式计算得出，甚至六十四元数、一百二十八元数的乘法表也皆是已知的。^[4]这些乘法表中的元素通常是单位，可称为基元，基元的数量则决定了超复数的维度^[5]:89

三十二元数的乘法表十分庞大，可以参见文献中的附表^[4][1]。具体执行三十二元数乘法的过程需要1024次实数乘法和992次实数加法。^[6]

高维代数结构

三十二元数之上还有六十四元数、一百二十八元数等，其维数皆是二的次方。^[4]

六十四元数

六十四元数共有1个实元素和63个虚元素单位。其乘法表的结构可以以这63个虚元素单位作为点，形成651个三元组。^[7]如同八元数的法诺平面（英语：Fano plane）7个虚元素单位构成7条线，六十四元数的651个三元组都可以看做一条线，每条线通过3个顶点，每个点连接31条线，并同构于PG(5,2)。^[8]:20

参见

• 凯莱-迪克森结构
• 十六元数
• 超复数