主分支

例子

主分支常用在反三角函数的定义上，可能会选择

\arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

或是

\arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]

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另一个比较熟悉的主分支，且限定在实数的，是 $1/2$ 次方对应的正实数。

例如，考虑 $y = x 1/2$ 关系，其中 $x$ 是正的实数。

此关系可以用所有平方后等于 $x$ 的 $y$ 来满足（y可正可负）。依照惯例，√x会是满足之前关系的正值。

在此例中，正平方根函数是多值关系 $x 1/2$ 的主分支。

从复分析里的指数函数和对数也可以探讨主分支。

指数函数 $e z$ 是单值函数，定义为

e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b

其中 $z=a+ib$ .

不过，三角函数的周期性可以清楚看出其反函数的对数函数其值不唯一。考虑下式：

\operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

和

\operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k

其中 $k$ 是整数， $atan2$ 将 $arctan(b/a)$ 函数的值从其主值域 $(-\pi /2,\;\pi /2]$ ，对应 $a>0$ ，扩展到 $arg(z)$ 函数的主值范围 $(-\pi ,\;\pi ]$ ，包括复平面的所有象限。

任何用上述准则定义的数 $log z$ 都满足此性质 $e log z = z$ 。

依上述所述，log函数是多值函数（在复变分析常称为是multifunction）。分支切割一般会沿着负实轴，会限制虚部，使其在 $-π$ 和 $π$ 之间，这就是选定的主值。

这是对数函数的主分支，常会用 $Log z$ 表示，log的l改为大写的L。

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