充分统计量

在统计学中，一个关于一个统计模型和相关的未知参数的充分统计量（Sufficient Statistic）是指“没有任何其他可以以同一样本中计算得出的统计量可以提供任何有关未知参数的额外讯息”。^[1]

数学定义

对于统计量 ${\displaystyle t=T(X)}$，若数据${\displaystyle X}$在已知${\displaystyle t=T(X)}$时的条件分布不依赖于参数 ${\displaystyle \theta }$，则称其是关于参数 ${\displaystyle \theta }$ 的充分统计量。即对任何博雷尔集 ${\displaystyle A}$，有${\displaystyle {\text{Pr}}(x\in A|t,\theta )={\text{Pr}}(x\in A|t)}$。

例子

对于方差已知，均值为未知参数 ${\displaystyle \mu }$ 的常态分布，样本均值是一个充分统计量。

费希尔分解定理

若一个统计模型具有似然函数f_θ(x)，则T是θ的充分统计量当且仅当存在非负函数g与h，使得

${\displaystyle f_{\theta }(x)=h(x)g_{\theta }(T(x)).}$

最小充分统计量

若一个充分统计量是任何其他充分统计量的函数，则称其是一个最小充分统计量。即，统计量S(X)是最小充分统计量当且仅当^[2]

1. S(X)是充分统计量，
2. 如果T(X)是一个充分统计量，那么存在一个函数f 使得 S(X)= f(T(X))。

一个有用的结论指出，当概率密度f_θ存在时，S(X)是最小充分统计量当且仅当

${\displaystyle {\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(y)}}}$ 与θ无关${\displaystyle \Leftrightarrow }$ S(x)= S(y).

这一结论很容易由前述费希尔分解定理得出。

巴哈杜尔于1954年发现了一个最小充分统计量不存在的例子。^[3] 然而，在一般的条件下，最小充分统计量总是存在的。

如果至少存在一个最小充分统计量，则每个完全充分统计量都是最小充分统计量^[4]。