克雷洛夫子空间

线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于${\displaystyle A^{0}=I}$）的列空间张成的线性子空间，即^[1][2]

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}.}$

背景

这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。^[3]

性质

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b),A\,{\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r+1}(A,b)}$.
• 令${\displaystyle r_{0}=\operatorname {dim} \operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots \}}$，则${\displaystyle \{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}}$是线性无关的，除非${\displaystyle \forall r>r_{0},\ {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)}$，${\displaystyle \operatorname {dim} {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)=r_{0}}$。因此${\displaystyle r_{0}}$是克雷洛夫子空间${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$的最大维度。
• 最大维度满足${\displaystyle r_{0}\leq 1+\operatorname {rank} A,\ r_{0}\leq n}$.
• 考虑${\displaystyle \dim \operatorname {span} \,\{I,A,A^{2},\ldots \}=\deg \,p(A)}$，其中${\displaystyle p(A)}$是A的极小多项式。我们有${\displaystyle r_{0}\leq \deg \,p(A)}$。此外${\displaystyle \forall A,\ \exists b}$，对它来说此约束是紧密的，即${\displaystyle r_{0}=\deg \,p(A)}$。
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$是由b产生的扭化${\displaystyle k[x]}$-模${\displaystyle (k^{n})^{A}}$的循环子模，其中${\displaystyle k^{n}}$是k上的线性空间。
• ${\displaystyle k^{n}}$可分解为克雷洛夫子空间的直和。^{[需要解释]}

使用

克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。^[2]控制论的很多线性动态系统检测，特别是与可控制性和可观测性相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。^[4] 阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量b开始，可以计算${\displaystyle Ab}$，然后将向量与A相乘，求得${\displaystyle A^{2}b}$等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形，从而产生了无矩阵法。

问题

由于幂迭代的特性，向量很快就会变得近乎线性相关，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化，例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。

现有方法

最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。

另见

• 迭代法