平面波

在三维空间里，平面波（plane wave）是一种波动，其波阵面（在任何时刻，波相位相等的每一点所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数，例如，振幅是位置的函数，则称此种平面波为“非均匀平面波”。^[1]:24-27

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。

一个平面波的波前行进于空间。

加以延伸，平面波这术语时常用来形容，在空间的一个局部区域里，近似于平面波的波动。例如，一个局部区域波源，像发射无线电波的天线，所发射出的电磁波，在远场区（英语：far-field region）可以近似为平面波。等价地说，对于在一个均匀介质内，波的传播距离超长于波长的案例，在几何光学的正确极限内，射线区域性地对应于近似平面波。

数学表述

在时间等于零时，正相移导致波向左移位。

随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡正弦波。

3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。

用数学来表述，波动方程为

${\displaystyle \nabla ^{2}f-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ 是描述波动的函数，${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 是拉普拉斯算符，${\displaystyle v}$ 是波动传播的速度，${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是时间。

描述平面波的函数 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)}$ 是波动方程的一种解答：

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {\psi }}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\psi }}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

平面波 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)}$ 的形式为：

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)={\tilde {A}}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ；

其中，${\displaystyle i}$ 是虚数单位，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是波矢，${\displaystyle \omega =kv}$ 是角频率，${\displaystyle {\tilde {A}}}$ 是复值的振幅标量。

取复函数的实部，则可以得到其物理意义。

${\displaystyle \operatorname {Re} \{{\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\}=|{\tilde {A}}|\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t+\arg {\tilde {A}})}$ 。

注意到在任意时刻 ${\displaystyle t=t_{0}}$ ，波相位不变的曲面满足方程

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t_{0}+\arg {\tilde {A}}=c_{1}}$ ，

或者，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} =c_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{1}}$ 、${\displaystyle c_{2}}$ 是任意常数。

所有满足这方程的 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 形成一个与 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 相互垂直的平面，平行波的波前就是这种平面，所有的波前都与 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 相互垂直，都相互平行。

对于矢量的波动方程，像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$ ，

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁场;

解答也很类似：

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\psi }}}(\mathbf {x} ,\ t)={\tilde {\mathbf {A} }}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ 是复值的振幅矢量。

横波的振幅矢量垂直于波矢，像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢，像传播于气体或液体的声波。

传播于某介质内，角频率与波矢之间的关系，可以以函数 ${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )}$ 表达，称为介质的色散关系。对于这介质，波的相速度是

${\displaystyle v_{p}=\omega /k}$ ，

群速度是

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}}$ 。

参阅

• 波动方程