扁球面坐标系

扁球面坐标系（英语：Oblate spheroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于xz-平面；两个焦点${\displaystyle F_{1}}$与${\displaystyle F_{2}}$的直角坐标分别为${\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)}$与${\displaystyle (a,\ 0,\ 0)}$。将椭圆坐标系绕着z-轴旋转，则可以得到扁球面坐标系。（假若，绕着y-轴旋转，则可以得到长球面坐标系。）椭圆坐标系的两个焦点，变为一个半径为${\displaystyle a}$的圆圈，包含于三维空间的xy-平面。称这圆圈为焦圆，又称为参考圆。扁球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例，其两个最大的半轴的长度相同。

图1）扁球面坐标系的几个坐标曲面。红色扁球面的${\displaystyle \mu =1}$。蓝色半双曲面的${\displaystyle \nu =45^{\circ }}$。黄色半平面的${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$（黄色半平面与xz-半平面之间的二面角角度是${\displaystyle -60^{\circ }}$）。z-轴是垂直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点P（以黑色的圆球表示），直角坐标大约为${\displaystyle (1.09,\ -1.89,\ 1.66)}$。

图2）椭圆坐标系绘图。横轴是x-轴，竖轴是z-轴。红色椭圆（${\displaystyle \mu }$-等值线）变成上图的红色扁球面（${\displaystyle \mu }$坐标曲面），而${\displaystyle x>0}$青蓝色双曲线（${\displaystyle \nu }$-等值线）则变成蓝色半双曲面（${\displaystyle \nu }$坐标曲面）。

当边界条件涉及扁球面或旋转双曲面时，扁球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如，关于佩兰摩擦因子（Perrin friction factors）的计算，扁球面坐标扮演了极重要的角色。让·佩兰因此而荣获1926年诺贝尔物理奖。佩兰摩擦因子决定了分子的旋转扩散（rotational diffusion）。这程序又影响了许多科技，像蛋白质核磁共振光谱学（protein NMR），的可行性。应用这程序，我们可以推论分子的流体动力体积与形状。扁球面坐标也时常用来解析电磁学（例如，扁球形带电的分子的电容率），声学（例如，声音通过圆孔时产生的散射），流体动力学（水通过消防水带的喷口），扩散理论（红热的钱币在水里的冷却），等等方面的问题。

第一种表述

在三维空间里，一个点P的扁球面坐标${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$常见的定义是

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi }$、

${\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi }$、

${\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$。

其中，${\displaystyle \mu \geq 0}$是个实数，角度${\displaystyle -90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }}$，角度${\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}$。

学术界比较中意这一种扁球面坐标，因为没有简并；三维空间内每一点都拥有自己独特的扁球面坐标。

坐标曲面

${\displaystyle \mu }$坐标曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$。

它们是由椭圆绕着z-轴旋转形成的。椭球面与xz-平面的相交，是一个的椭圆。沿着x-轴，长半轴长度为${\displaystyle a\cosh \mu }$，沿着z-轴，短半轴长度为${\displaystyle a\sinh \mu }$。椭圆的焦点都包含于x-轴，x-坐标分别为${\displaystyle \pm a}$。

${\displaystyle \nu }$坐标曲面是半个单叶旋转双曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$。

假若${\displaystyle \nu }$是正值，${\displaystyle z}$也是正值，这半个单叶旋转双曲面在xy-平面以上；假若是负值，则在xy-平面以下。${\displaystyle \nu }$是双曲线的渐近线的角度。所有双曲线的焦点都在x-轴，x-坐标分别为${\displaystyle \pm a}$。

${\displaystyle \phi }$坐标曲面是个半平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$。

逆变换

用直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$来计算扁球面坐标${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$，方位角${\displaystyle \phi }$的公式为

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$。

设定${\displaystyle d_{1}}$与${\displaystyle d_{2}}$分别为点P与焦圆的最远距离与最近距离，以方程式表示为

${\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}$、

${\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}$。

坐标${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \nu }$的方程式分别为

${\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}$、

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}$。

标度因子

扁球面坐标${\displaystyle \mu }$与${\displaystyle \nu }$的标度因子相等：

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$。

方位角${\displaystyle \phi }$的标度因子为

${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$，都可以用${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}$坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

第二种表述

另外有一组有时会用到的扁球面坐标${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$；其中，${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$，${\displaystyle \xi =\sin \nu }$^[1]。${\displaystyle \zeta }$坐标曲面是个扁球面，${\displaystyle \xi }$坐标曲面是个旋转双曲面。从直角坐标变换至扁球面坐标：

${\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi }$、

${\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi }$、

${\displaystyle z=a\zeta \xi }$。

其中，实数${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$，实数${\displaystyle -1\leq \xi <1}$，角度${\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}$。

标度因子

扁球面坐标${\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}$的标度因子分别为：

${\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}$。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$。

第三种表述

图3）第三种扁球面坐标系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$的三个坐标曲面。红色扁球面是${\displaystyle \sigma }$坐标曲面。蓝色单叶双曲面是${\displaystyle \tau }$坐标曲面。黄色半平面是${\displaystyle \phi }$坐标曲面 （黄色半平面与xz-半平面之间的二面角角度是${\displaystyle \phi }$）。z-轴是垂直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。第三种扁球面坐标系有双重简并。这可以从三个坐标曲面的两个相交点P₁，P₂ （以黑色的圆球表示）观察到。

另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$^[2]：

${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$、

${\displaystyle \tau =\cos \nu }$、

${\displaystyle \phi =\phi }$。

坐标${\displaystyle \sigma }$必须大于或等于1。坐标${\displaystyle \tau }$必须在正负1之间。${\displaystyle \sigma }$坐标曲面是扁球面。${\displaystyle \tau }$坐标曲面是单叶双曲面，包含了对应于正负${\displaystyle \nu }$的半双曲面。第三种坐标有双重简并：三维空间的两点（直角坐标${\displaystyle (x,\ y,\ \pm z)}$映射至一组扁球面坐标系${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$）。这双重简并可以从直角坐标变换至扁球面坐标的公式观察到：

${\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi }$、

${\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi }$、

${\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$。

坐标${\displaystyle \sigma }$与${\displaystyle \tau }$有一个简单的公式来表达任何一点P与焦圆的最远距离${\displaystyle d_{1}}$，最近距离${\displaystyle d_{2}}$：

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }$、

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }$。

所以，点P与焦圆的最远距离是${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$，点P与焦圆的最近距离是${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$。

坐标曲面

${\displaystyle \sigma }$坐标曲面是扁球面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$。

${\displaystyle \tau }$坐标曲面是单叶旋转双曲面 ：

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$。

${\displaystyle \phi }$坐标曲面是半个平面 ：

${\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}$。

标度因子

扁球面坐标${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}$的标度因子分别为：

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}}$、

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$、

${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi }$。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$。

其它微分算子，像${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$，都可以用${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及扁球面，我们可以优先选择这方法来解析。

参阅