指数映射 (黎曼几何)

黎曼几何中，指数映射${\displaystyle \exp _{p}}$（英语：exponential map）是由某（伪）黎曼流形${\displaystyle M}$切空间${\displaystyle T_{p}M}$的子集，到${\displaystyle M}$本身的映射。（伪）黎曼度量对应某个典范仿射联络，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个联络的指数映射。直观理解，由起点${\displaystyle p}$出发，以拣选切向量${\displaystyle v\in T_{p}M}$为速度，沿流形上的“直线”行单位时间，到达的终点就是${\displaystyle \exp _{p}(v)}$。

过北极的切面，到地面表面的指数映射，地图学称为方位等距投影（英语：azimuthal equidistant projection）。

定义

设${\displaystyle M}$为微分流形，${\displaystyle p}$为${\displaystyle M}$上一点。利用${\displaystyle M}$上的仿射联络，可以定义过${\displaystyle p}$点的测地线。^[1]

设${\displaystyle v\in T_{p}M}$为于${\displaystyle p}$点的切向量，则独有一条测地线${\displaystyle \gamma _{v}}$满足${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$，而初始切向量为${\displaystyle \gamma _{v}'(0)=v}$。对应的指数映射${\displaystyle \exp _{p}}$由

${\displaystyle \exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)}$

定义。一般而言，指数映射不必在全个${\displaystyle T_{p}M}$有定义，而只有局部定义，即定义域是${\displaystyle T_{p}M}$原点的小邻域，映到${\displaystyle p}$在流形上的某邻域内。原因是，测地线之所以存在（和唯一），藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义，则该线性联络称为完备。