施瓦茨三角形

在几何学中，施瓦茨三角形（英语：Schwarz triangle）是一个球面三角形，可用于球面镶嵌，透过在其边缘反射，但是可能会重叠。他们被归类于施瓦茨1873^[1]。

施瓦茨三角形除了可以定义在球面之外，也可以定义于欧几里得平面或双曲面，而做成便面镶嵌或双曲面镶嵌。在球面上的每个施瓦茨三角形定义了一个有限群，而在欧氏或双曲平面，则会定义出一个无限群。

施瓦茨三角形是由三个有理数(p q r)来代表每个顶点的角度。值n/d表示的顶角为半圆的d/n，“2”表是一个直角。若p、q、r皆为整数，则将其称为莫比乌斯三角形（英语：Möbius triangle）并且对应于一个没有重叠的镶嵌，其对称群称为一个三角群。在球面移共有3个莫比乌斯三角形加一个单参数族；在欧氏平面上有三个莫比乌斯三角形；而在罗氏双曲空间中有三个参数族的莫比乌斯三角形，并没有特例。

空间

施瓦茨三角形所属的空间取决于其p、q、r值：

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}\quad {\begin{cases}>1&\implies {\text{球 面}}\\[2pt]=1&\implies {\text{歐 氏 平 面}}\\[2pt]<1&\implies {\text{羅 氏 平 面 （雙 曲 面）}}\end{cases}}}$$

图形表示

施瓦茨三角形可以用三角图来表示。每个节点表示施瓦茨三角形的边（镜射）。每条边是由相应的反射阶数合理的数值标示，即π/顶点角。

Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

2阶边代表垂直于镜射，可以在该图中被忽略。在考克斯特 - 迪肯符号表示三角形图中会隐藏2阶边。 考克斯特组可用于更简单的符号，如(p q r)的循环图，(p q 2) = [p,q](直角三角形)，和(p 2 2) = [p]×[]。