杖头线

杖头线（Kampyle of Eudoxus）是笛卡儿坐标系方程如下的曲线

${\displaystyle x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

杖头线的图，a = 1

但不包括x = y = 0的解。

另一种表示法

在极座标下，杖头线的方程如下

${\displaystyle r=a\sec ^{2}\theta .}$

其参数式为

${\displaystyle x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).}$

历史

希腊天文学家及数学家欧多克索斯（c. 408 BC – c.347 BC）有研究此一四次曲线，和求解经典的倍立方问题有关。

性质

杖头线对X轴及Y轴对称，和X轴交点为(±a,0)，其拐点在

${\displaystyle \left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

（四个拐点，每个象限各一个）。曲线上半部在${\displaystyle x\to \infty }$时渐近${\displaystyle x^{2}/a-a/2}$ as ${\displaystyle x\to \infty }$，可以写成

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},}$

其中

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

是第${\displaystyle n}$个卡塔兰数。

参考资料

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 141–142. ISBN 0-486-60288-5.

外部链接

• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Kampyle of Eudoxus, MacTutor数学史档案 （英语）
• 埃里克·韦斯坦因. Kampyle of Eudoxus. MathWorld.