极值定理

在微积分中，极值定理（或最值定理^[1]:84）说明如果实函数${\displaystyle f}$在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在${\displaystyle [a,b]}$内的${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$，使得：

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)}$对于所有${\displaystyle x\in [a,b]}$。

闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的连续函数${\displaystyle f(x)}$，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。

一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间${\displaystyle [a,b]}$内的连续函数${\displaystyle f}$在该区间上有界。也就是说，存在实数${\displaystyle m}$和${\displaystyle M}$，使得：

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$对于所有${\displaystyle x\in [a,b]}$。

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

定理的证明

我们来证明${\displaystyle f}$的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数${\displaystyle -f}$，也可推出${\displaystyle f}$的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

有界性定理的证明

假设函数${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$内连续且没有上界，那么对于每一个自然数${\displaystyle n}$，都存在${\displaystyle [a,b]}$内的一个${\displaystyle x_{n}}$，使得${\displaystyle f(x_{n})>n}$（任定的，总之条件为真即可）。这便定义了一个序列${\displaystyle \{x_{n}\}}$。

由于${\displaystyle [a,b]}$是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在${\displaystyle \{x_{n}\}}$的一个收敛的子序列${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$。把它的极限记为${\displaystyle x}$。由于${\displaystyle [a,b]}$是闭区间，它一定含有${\displaystyle x}$。因为${\displaystyle f}$在${\displaystyle x}$处连续，我们知道${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$收敛于实数${\displaystyle f(x)}$。

但对于所有的${\displaystyle k}$，都有${\displaystyle f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k}$，这意味着${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$发散于无穷大。

前者描述为收敛，后者描述为无穷大，得出矛盾。因此，${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$内有上界。同理${\displaystyle f}$在${\displaystyle [a,b]}$内有下界。证毕。

极值定理的证明1

基本步骤为：

1. 寻找一个序列，它的像收敛于${\displaystyle f}$的最小上界。
2. 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
3. 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$内有最大值。根据有界性定理，${\displaystyle f}$有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，${\displaystyle f}$的最小上界${\displaystyle M}$存在。我们需要寻找${\displaystyle [a,b]}$内的一个${\displaystyle d}$，使得${\displaystyle M=f(d)}$。设${\displaystyle n}$为一个自然数。由于${\displaystyle M}$是最小上界，${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}}$就不是${\displaystyle f}$的上界。因此，存在${\displaystyle [a,b]}$内的${\displaystyle d_{n}}$，使得${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})}$。这便定义了一个序列${\displaystyle \{d_{n}\}}$。由于${\displaystyle M}$是${\displaystyle f}$的一个上界，即便是对于所有的${\displaystyle n}$，我们仍有${\displaystyle M-{\frac {1}{n}}<f(d_{n})\leq M}$。因此，序列${\displaystyle \{f(d_{n})\}}$收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列${\displaystyle \{d_{n_{k}}\}}$，它收敛于某个${\displaystyle d}$，且由于${\displaystyle [a,b]}$是闭区间，${\displaystyle d\in [a,b]}$。因为${\displaystyle f}$在${\displaystyle d}$处连续，所以序列${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$收敛于${\displaystyle f(d)}$。但${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$是${\displaystyle \{f(d_{n})\}}$的一个子序列，收敛于${\displaystyle M}$，因此${\displaystyle M=f(d)}$。所以，${\displaystyle f}$在${\displaystyle d}$处取得最小上界${\displaystyle M}$。证毕。

极值定理的证明2

^[2] 设${\displaystyle M}$是${\displaystyle f}$在区间${\displaystyle [a,b]}$上的最小上界，我们要证明存在${\displaystyle d\in [a,b]}$使得${\displaystyle f(d)=M}$。我们使用反证法：如若不然，对任意 ${\displaystyle x\in [a,b]}$，${\displaystyle f(x)\neq M}$，所以，对任意的${\displaystyle x\in [a,b]}$，${\displaystyle f(x)<M}$。我们考虑正值的函数

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.}$

因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于${\displaystyle M}$是${\displaystyle f(x)}$的最小上界，所以存在 ${\displaystyle x\in [a,b]}$，使得${\displaystyle f(x)}$可以无限地接近${\displaystyle M}$，从而${\displaystyle g(x)}$是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数${\displaystyle g(x)}$来证明最大值能在某个${\displaystyle d}$取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。

例子

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。

1. 定义在${\displaystyle [0,\infty )}$的函数${\displaystyle f(x)=x}$没有上界。
2. 定义在${\displaystyle [0,\infty )}$的函数${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$有界，但不取得最小上界1。
3. 定义在${\displaystyle (0,1]}$的函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$没有上界。
4. 定义在${\displaystyle (0,1]}$的函数${\displaystyle f(x)=1-x}$有界，但不取得最小上界1。

推广到半连续函数

如果把${\displaystyle f}$的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值${\displaystyle -\infty }$和${\displaystyle +\infty }$也可以允许为可能的值。更加精确地：

定理：如果函数${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow [-\infty ,\infty )}$是上半连续的，也就是说，对于${\displaystyle [a,b]}$内的所有${\displaystyle x}$，都有：

${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$，

那么${\displaystyle f}$有上界，且取得最小上界。

证明：如果对于${\displaystyle [a,b]}$内的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)=-\infty }$，那么最小上界也是${\displaystyle -\infty }$，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，${\displaystyle f}$在${\displaystyle x}$处的半连续性只意味着子序列${\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}$的上极限有上界${\displaystyle f(x)<\infty }$，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，${\displaystyle f}$在${\displaystyle d}$处的半连续性意味着子序列${\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}}$的上极限有上界${\displaystyle f(d)}$，但这已足以推出${\displaystyle f(d)=M}$的结论。证毕。

把这个结果应用于${\displaystyle -f}$，可得：

定理：如果函数${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow (-\infty ,\infty ]}$是下半连续的，也就是说，对于${\displaystyle [a,b]}$内的所有${\displaystyle x}$，都有：

${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

那么${\displaystyle f}$有下界，且取得最大下界。

一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。