笛卡尔卵形线

在几何学中，以勒内·笛卡尔的名字命名的笛卡尔卵形线（英语：Cartesian oval），是一种平面曲线，指一群对两定点具有相同线性组合的点所形成的集合。

笛卡尔卵形曲线的范例

定义

设${\displaystyle {\text{P}}}$、${\displaystyle {\text{Q}}}$为平面上两定点，并令d(P,S) 和 d(Q,S)表一动点${\displaystyle {\text{S}}}$分别与${\displaystyle {\text{P}}}$、${\displaystyle {\text{Q}}}$的欧几里得距离长，并令${\displaystyle {\text{m}}}$及${\displaystyle {\text{a}}}$为两任意实数，则笛卡尔卵形线即为所有满足方程式d(P,S) + m d(Q,S) = a之点所形成之轨迹。其中，由四组方程式 d(P,S) + m d(Q,S) = ± a与d(P,S) − m d(Q,S) = ± a构成的两组卵形线具有密切相关，两者可构成一四次平面曲线称为“Descartes卵形线”（英语：Ovals of Descartes）。^[1]

特例

在方程 d(P,S) + m d(Q,S) = a中，

1. 若 m = 1 且 a > d(P,Q)，得到的形状为椭圆。若是在P和Q重合的极限条件（英语：Limiting case (mathematics)）下，椭圆变成圆。
2. 若${\displaystyle m=a/{\text{d}}(P,Q)}$，会出现帕斯卡蜗线。
3. 若 ${\displaystyle m=-1}$ 和 ${\displaystyle 0<a<{\text{d}}(P,Q)}$，图形会是双曲线的一个分支，不是封闭的卵形线。

多项式

(x,y)的坐标满足四次多项方程式^[1][2]

[(1 - m²)(x² + y²) + 2m²cx + a² − m²c²]² = 4a²(x² + y²),

其中 c为固定焦点 P = (0, 0) 和 Q = (c, 0)之间的距离 ${\displaystyle {\text{d}}(P,Q)}$，形成两个椭圆形，这些点会满足以下四个方程式中的二个真正有解的方程式

d(P,S) ± m d(Q,S) = a,

d(P,S) ± m d(Q,S) = −a^[2]

两个椭圆形通常是断续的，除了在的情况， P 或 Q 属于他们。 至少两个垂线以 PQ 通过点的 P 和 Q 削减这四次曲线中的四个实点；因此，他们一定是嵌套，至少有两个点的 P 和 Q 包含在内。^[2] 对于一个不同的参数化并得到四次。

光学应用

笛卡尔发现，笛卡尔卵形线可以用于透镜设计。通过材料折射率，确定与之匹配的 P 和 Q 的比值。再用得到的卵形线作出旋转曲面，就可以得到消球差透镜。^[3]

另外，球面波通过球面透镜或被球面凹面镜反射后，其折射或反射波的波前为笛卡尔卵形线。由球面像差形成的出射波包络线可以用笛卡尔卵形线的渐屈线描述。^[4]

历史

1637年，笛卡尔首先研究了笛卡尔卵形与光学元件的关系。

牛顿从1664年开始也涉足笛卡尔卵形线的研究。从笛卡尔开始，人们就开始使用一种类似于画椭圆的方法绘制笛卡尔卵形线。 通过伸线。 如果一直延伸线从一个销在一个焦点，围绕着一个针，在第二个重点，并联系的自由端的程笔，采取的路径笔，当线绷紧，形成一个直角椭圆2:1的比率之间的距离的两个焦点。^[5] 但是，牛顿拒绝了这样的结构作不够严谨。^[6] 他定义了椭圆形作为解决一个 微分方程，建造其子法线，并再次调查它的光学性能。^[7]

法国数学家 米歇尔夏斯莱发现，在19世纪，如果笛卡尔是椭圆形的定义由两点 P 和 Q，再有就是在一般的第三点 R 对同样行使同样的椭圆形的也是限定的任何对这三点。^[2]

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 重新发现了这些曲线，普遍他们的曲线定义保持恒定的加权总和的距离从三个或更多的焦点，并写了一份题为 对具有多个焦点和不同比例半径的外接图形的观察的。 一个考虑到他的结果，标题 的说明椭圆曲线，以及那些具有多个重点，是由 J.D.《福布斯》 ，并提交给了 皇家协会，爱丁堡 ，在1846年，当麦克斯韦是在年轻的年龄为14(几乎15).^[5][8][9]

参见

• 卡西尼卵形线
• 双心坐标系