简单函数

简单函数（英语：simple function）又称单纯函数，是实分析中只取有限个实值的可测函数。

定义

集合 ${\displaystyle \Omega }$ 上有Σ-代数 ${\displaystyle \Sigma }$ ，若对函数 ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ，存在 ${\displaystyle A_{1},\,A_{2},\cdots ,A_{n}\in \Sigma }$ 和 ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$，使得：

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).}$

其中 ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ 代表集合 ${\displaystyle A}$ 的指示函数，即：

${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\in A\\0,&{\mbox{if }}x\not \in A\end{matrix}}\right.}$

则 ${\displaystyle f}$ 称为简单函数，也就是说，简单函数是可测集合（即 ${\displaystyle \Sigma }$ 的元素）的指示函数的有限线性组合。

范例

• 半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
• 实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

性质

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

定理 — 集合 ${\displaystyle \Omega }$ 上有Σ-代数 ${\displaystyle \Sigma }$ ，任何非负，在 ${\displaystyle \Sigma }$ 上可测的 ${\displaystyle f:\Omega \to [0,\,\infty )}$ 都会是某递增且非负简单函数序列的逐点极限。更进一步的，若 ${\displaystyle f}$ 是有界的，则此简单函数序列是一致收敛至${\displaystyle f}$。

证明

对每个正整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，把 ${\displaystyle [0,\,\infty )}$ 分成 ${\displaystyle 2^{2n}+1}$个区间，也就是取

${\displaystyle I_{n,k}=\left[k2^{-n},\,(k+1)2^{-n}\right)}$ ，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1}$。

以及

${\displaystyle I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )}$

然后定义可测集合

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}$，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}$。

则可对每个正整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 定义非负简单函数 ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to [0,\,\infty )}$ 如下

${\displaystyle f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )}$

也就构成了一个非负递增简单函数序列 ${\displaystyle {\{f_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }}$ 。

这样的话，取任意 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ， 都存在正整数 ${\displaystyle n_{\omega }\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{n_{\omega }}>f(\omega )}$

这样的话，只要 ${\displaystyle n>n_{\omega }}$ 的话，都会存在正整数 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}}$

所以有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}}$

再考虑到，对任意正实数 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$ ，都存在正整数 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{m}\epsilon >1}$

所以总结一下，对任意正实数 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$，取正整数 ${\displaystyle n>\operatorname {max} \{m,\,n_{\omega }\}}$ ，就会有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon }$

所以简单函数序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 的确会逐点收敛至 ${\displaystyle f}$。

注意到若 ${\displaystyle f}$ 是有界的，那存在一个跟点 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ 选取无关的正整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{n}>f(\omega )}$

那这样的话，对任意正实数 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$，取正整数 ${\displaystyle n^{\prime }>\operatorname {max} \{m,\,n\}}$，就会得到一致收敛。${\displaystyle \Box }$

简单函数的积分

测度 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}$ 定义在 ${\displaystyle \Omega }$ 的Σ-代数 ${\displaystyle \Sigma }$ 上，若简单函数 ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ 可表达为

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}$

则 ${\displaystyle f}$ 于某个 ${\displaystyle E\in \Sigma }$ 上，对测度 ${\displaystyle \mu }$ 的勒贝格积分定义为：

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}\cap E)}$

参考文献

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.