合成列

在抽象代数中，合成列是借着将代数对象（如群、模等等）拆解为简单的成分，以萃取不变量的方式之一。以模为例，一般环上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次，考虑一组过滤 ${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{n}=M}$，使每个子商 ${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}}$ 皆为单模；这些单模称为合成因子，${\displaystyle n}$ 称为合成长度，都是 ${\displaystyle M}$ 的不变量。亦可考虑 ${\displaystyle M}$ 的子模范畴 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，此时 ${\displaystyle [M]\in K({\mathcal {A}})}$ 可唯一表为合成因子之和；在此意义下，K-群提供了模的半单化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言：若一对象有合成列，则子商的同构类是唯一确定的，至多差一个置换。因此，合成列给出有限群或阿廷模的不变量。

群的情形

设 ${\displaystyle G}$ 为群，${\displaystyle G}$ 的合成列是对应于一族子群

${\displaystyle \{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G}$

满足 ${\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}}$，使其子商 ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$ 皆为非平凡的单群；易言之，${\displaystyle H_{i}}$ 是 ${\displaystyle H_{i+1}}$ 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群，恒存在合成列。

模的情形

固定环 ${\displaystyle R}$ 及 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$。${\displaystyle M}$ 的合成列是一族子模

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

其中每个子商 ${\displaystyle J_{k+1}/J_{k}}$ 皆为非平凡的单模 。易言之，${\displaystyle J_{k}}$ 是 ${\displaystyle J_{k+1}}$ 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 ${\displaystyle R}$ 是阿廷环，根据 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 ${\displaystyle R}$-模皆有合成列。

例子

例子. 考虑 12 阶循环群 ${\displaystyle C_{12}}$，它具有三个相异的合成列

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12}}$,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$

合成因子分别为

${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}}$

${\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}$

${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}}$

其间仅差个置换。

若尔当-赫尔德定理

定理. 若群 ${\displaystyle G}$〔或 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$〕有合成列，则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关，其间至多差一个置换。

略证：以下仅处理模的情形，群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M}$

${\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M}$

对 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)}$ 行数学归纳法。若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0}$ 则 ${\displaystyle M=0}$，若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1}$ 则 ${\displaystyle M}$ 是单模。以下假定 ${\displaystyle r,s\geq 2}$。

若 ${\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}}$，据归纳法假设，${\displaystyle r-1=s-1}$ 且 ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}}$ 与 ${\displaystyle M'_{i+1}/M'_{i}}$（${\displaystyle 0\leq i\leq r-2}$）之间仅差置换。此外 ${\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}}$，故定理成立。

设 ${\displaystyle M_{r-1}\neq M'_{s-1}}$。此时必有 ${\displaystyle M_{r-1}+M'_{s-1}=M}$。置 ${\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}}$，于是

${\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N}$

${\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N}$

取 ${\displaystyle N}$ 的合成列 ${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N}$，依上式知

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)}$

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)}$

皆为合成列，其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设，若同删去尾项 ${\displaystyle M}$，则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 ${\displaystyle M_{\bullet },M'_{\bullet }}$ 的合成因子，至多差个置换。是故定理得证。

参见

• 正规列
• 长度 (模论)

站外连结

• O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）