薛定谔绘景

薛定谔绘景（Schrödinger picture）是量子力学的一种表述，为纪念物理学者埃尔温·薛定谔而命名。在薛定谔绘景里，量子系统的态矢量随着时间流易而演化，而像位置、自旋一类的对应于可观察量的算符则与时间无关。

埃尔温·薛定谔

薛定谔绘景与海森堡绘景、狄拉克绘景不同。在海森堡绘景里，对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化，而描述量子系统的态矢量则与时间无关。在狄拉克绘景里，态矢量与算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理现象。^{[1]:80-84[2][3]}

在薛定谔绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从${\displaystyle t_{0}}$流易到${\displaystyle t}$，而经过这段时间间隔，态矢量${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$演化为态矢量${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$，这时间演化过程以方程表示为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$；

其中，${\displaystyle U(t,t_{0})}$是时间演化算符。

假设系统的哈密顿量${\displaystyle H}$不含时，则时间演化算符为

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，指数函数${\displaystyle e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }}$必须通过其泰勒级数计算。

在初级量子力学教科书里，时常会使用薛定谔绘景。^{[4]:第2章第25页}

时间演化算符

定义

时间演化算符${\displaystyle U(t,\,t_{0})}$定义为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$；

其中，右矢${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$表示时间为${\displaystyle t}$的态矢量，${\displaystyle U(t,\,t_{0})}$是时间演化算符，从时间${\displaystyle t}$演化到时间${\displaystyle t_{0}}$。

这方程可以做这样解释：将时间演化算符${\displaystyle U(t,\,t_{0})}$作用于时间是${\displaystyle t_{0}}$的态矢量${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$，则会得到时间是${\displaystyle t}$的态矢量${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$。

类似地，也可以用左矢${\displaystyle \langle \psi |}$来定义：

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})}$；

其中，算符${\displaystyle U^{\dagger }}$是算符${\displaystyle U}$的厄米共轭。

性质

幺正性

由于态矢量必须满足归一条件，态矢量的范数不能随时间而变：^[1]:66-69

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$。

可是，

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$。

所以，

${\displaystyle U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})=I}$ ;

其中，${\displaystyle I}$是单位算符。

单位性

时间演化算符${\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})}$必须是单位算符${\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})=I}$，因为，^[1]:66-69

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$。

闭包性

从初始时间${\displaystyle t_{0}}$到最后时间${\displaystyle t}$的时间演化算符，可以视为从中途时间${\displaystyle t_{1}}$到最后时间${\displaystyle t}$的时间演化算符，乘以从初始时间${\displaystyle t_{0}}$到中途时间${\displaystyle t_{1}}$的时间演化算符^[1]:66-69：

${\displaystyle U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})}$。

根据时间演化算符的定义，

${\displaystyle |\psi (t_{1})\rangle =U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$，

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})|\psi (t_{1})\rangle }$。

所以，

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$。

可是，再根据定义，

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$。

所以，时间演化算符必须满足闭包性：

${\displaystyle U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})}$。

时间演化算符的微分方程

为了方便起见，设定${\displaystyle t_{0}=0}$，初始时间${\displaystyle t_{0}}$永远是${\displaystyle 0}$，则可忽略时间演化算符的${\displaystyle t_{0}}$参数，改写为${\displaystyle U(t)}$。含时薛定谔方程为^[1]:68-73

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle }$；

其中，${\displaystyle H}$是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式，可以得到

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle }$。

由于${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$可以是任意恒定态矢量（处于${\displaystyle t=0}$的态矢量），时间演化算符必须遵守方程

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)}$。

假若哈密顿量不含时，则这方程的解答为

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$。

注意到在时间${\displaystyle t=0}$，时间演化算符必须约化为单位算符${\displaystyle U(0)=I}$。由于${\displaystyle H}$是算符，指数函数${\displaystyle e^{-iHt}}$必须通过其泰勒级数计算：

${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots }$。

按照时间演化算符的定义，在时间${\displaystyle t}$，态矢量为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$。

注意到${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$可以是任意态矢量。假设初始态矢量${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$是哈密顿量的本征态，而本征值是${\displaystyle E}$，则在时间${\displaystyle t}$，态矢量为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$。

这样，可以看到哈密顿量的本征态是定态，随着时间的流易，只有相位因子在进行演化。

假设，哈密顿量与时间有关，但在不同时间的哈密顿量相互对易，则时间演化算符可以写为

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)}$。

假设，哈密顿量与时间有关，而在不同时间的哈密顿量不相互对易，则时间演化算符可以写为

${\displaystyle U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)}$；

其中，${\displaystyle T}$是时间排序算符。

必须用戴森级数（英语：Dyson series）来表示，

${\displaystyle U(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int _{0}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})\dots H(t_{n})}$。

各种绘景比较摘要

为了便利分析，位于下标的符号${\displaystyle {\mathcal {H}}}$、${\displaystyle {\mathcal {I}}}$、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$分别标记海森堡绘景、相互作用绘景、薛定谔绘景。

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：^{[1]:86-89, 337-339}

演化	海森堡绘景	相互作用绘景	薛定谔绘景
右矢	常定	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$
可观察量	${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	常定
密度算符	常定	${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }}$

参阅

• 哈密顿-亚可比方程