复合八面体立方体

在几何学中，复合八面体立方体（英文：Compound of cube and octahedron），又被称为八面体-正方体复合体，是一种非凸多面体，属于星形多面体，外观看起来像一个正八面体和立方体卡在一起。这可以被看作是多面体的星状复合物。这种立体图形曾出现在莫里茨·科内利斯·埃舍尔（M. C. Escher，又译艾雪）的木刻画作上，例如艾雪1948年的《群星》作品的左上方^[1]。

复合八面体立方体

类别	复合多面体
对偶多面体	自身对偶
性质
体	2
面	14
边	24
顶点	14
欧拉特征数	F=14, E=24, V=14 （χ=4）
组成与布局
复合几何体数量	2
复合几何体种类	1个正八面体 1个立方体
面的种类	8个三角形 6个正方形
对称性
对称群	八面体群 (Oh)

性质

复合八面体立方体是将边心距相等的正八面体和立方体的顶点互相位于另一个立体每个面几何中心的垂线上，换句话说，立方体的每个顶点都位于过正八面体之每个面几何中心的垂线上、正八面体的每个顶点也都位于过正八面体之每个面几何中心的垂线上。此外两个立体图形的每条边都互相垂直平分，也就是说立方体的每条边都垂直平分正八面体的每条边、正八面体的每条边也都垂直平分立方体的每条边。

构成八面体立方体复合体的立方体和八面体，其共同区域是一个截半立方体。立方体和八面体的边缘交叉处互相垂直平分，这正好是菱形对角线的性质，因此若立方体和八面体的顶点两两相连，则正好可以构成12个这种菱形，形成一个菱形十二面体。^[2]

整个复合体共有14个面。

边长

八面体立方体复合体中，正八面体和立方体的边心距相等，这意味者两者边长不会等长。其中，正八面体的边心距为边长的一半^[3]：

^rm_正八面体${\displaystyle ={\frac {a_{{}_{\text{正 八 面 体}}}}{2}}=0.5\cdot a}$_正八面体

立方体的边心距为边长二平方根倍的一半^[4]

^rm_立方体${\displaystyle ={\frac {a_{{}_{\text{立 方 体}}}}{\sqrt {2}}}\approx 0.707\cdot a}$_立方体

因此若两者边心距要相等，则若立方体边长为：

a_立方体 = 1

则正八面体边长为：

a_正八面体 = ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

顶点坐标

若复合八面体立方体中的立方体边长为1单位长，则复合八面体立方体的顶点为立方体的顶点和边长二的平方根倍的正八面体，会落在^[5]：

${\displaystyle (\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2)}$、

${\displaystyle (\pm 1,0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm 1,0)}$、

${\displaystyle (0,0,\pm 1)}$。

这些顶点坐标与可以进行空间填充的菱形十二面体相同^[6][7]。

体积与表面积

复合八面体立方体是一种星形多面体，如同星形多边形，重叠的部分不计入面积计算，也就是说八面体和立方体共同的部分不列入体积的计算，因此其体积可借由立方体的体积与八面体相加再扣掉中间的截半立方体，也可以计算其凸出来的6个正四角锥和8个直角三角锥的总和。一个立方体边长为1的复合八面体立方体其体积为${\displaystyle 3/2}$。

其表面积为八面体与立方体表面积的和。一个立方体边长为1的复合八面体立方体其表面积为${\displaystyle 6+4{\sqrt {3}}}$。

第一种星形截半立方体

与复合八面体立方体共用顶点的形状，且外观相同的形状是第一种星形截半立方体，由48个三角形面、72条边和26个顶点组成，其星形核为截半立方体、凸包为菱形十二面体。

图像
星状图（英语：Stellation diagram）

性质

这星形多面体大部分的性质都与复合八面体立方体相同，除了体积与表面积之外。这种星形多面体等于扣掉了中心重合的截半立方体的复合八面体立方体，其体积和表面积为^[8]：

${\displaystyle A=3(1+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 8.1961524a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {3}{2}}a^{3}=1.5a^{3}.}$

其中${\displaystyle a=}$ 正立方体边长.

参见

• 八面体
• 立方体