转动惯量列表

关于这个物理量的严格定义及其推导过程，请参见转动惯量。

对于一个有多个质点的系统，${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}}$。若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。以下列表给出了常见物理模型的转动惯量。

值得注意的是，不应将其与截面惯量（又称截面二次轴矩（second axial moment of area）），截面矩（area moment of inertia）混淆，后者用于弯折方面的计算。以下之转动惯量假设了整个物体具有均匀的常数密度。

常见物理模型的转动惯量

描述	图形	转动惯量	注解
质点，离轴距离为r，质量为m		${\displaystyle I=mr^{2}\,\!}$	—
两端开通的薄圆柱壳，半径为r，质量为m		${\displaystyle I=mr^{2}\,\!}$[1]	此表示法假设了壳的厚度可以忽略不计。此为下一个物体，当其r1 = r2时的特例。
两端开通的厚圆柱，内半径为r1，外半径为r2，高为h，质量为m		${\displaystyle I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)+h^{2}\right]}$ 或者定义标准化厚度tn = t/r并定义r = r2， 可得${\displaystyle I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}t_{n}^{2}\right)}$	—
实心圆柱，半径为r，高为h，质量为m		${\displaystyle I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!}$[1] ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)\,\!}$	此为前面物体，当其r1 = 0时的特例。
薄圆盘，半径为r，质量为m		${\displaystyle I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!}$	此为前面物体，当其h = 0时的特例。
圆环，半径为r，质量为m		${\displaystyle I_{z}=mr^{2}\,\!}$ ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!}$	此为后面环面，当其b = 0时的特例。
球壳，内半径为r1，外半径为r2，质量为m		${\displaystyle I={\frac {2}{5}}m\left({\frac {{r_{2}}^{5}-{r_{1}}^{5}}{{r_{2}}^{3}-{r_{1}}^{3}}}\right)\,\!}$[1]	—
实心球，半径为r，质量为m		${\displaystyle I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!}$[1]	此为前面物体，当其r1 = 0时的特例；也是后面椭球，当其a = b = c时的特例。
空心球，半径为r，质量为m		${\displaystyle I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!}$	此为前面球壳，当其r1 → r2时的极限。
椭球，半轴为a、b、c，质量为m		${\displaystyle I_{a}={\frac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right)\,\!}$ ${\displaystyle I_{b}={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+c^{2}\right)\,\!}$ ${\displaystyle I_{c}={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right)\,\!}$	—
圆锥，半径为r，高为h，质量为m		${\displaystyle I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!}$[2] ${\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {3}{20}}m\left({r^{2}}+{4}h^{2}\right)\,\!}$[2]	—
实心长方体，高为h，宽为w，长为d，质量为m		${\displaystyle I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)}$ ${\displaystyle I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)\,\!}$ ${\displaystyle I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)\,\!}$	边长为${\displaystyle s}$的立方体对任意过质心的轴的转动惯量${\displaystyle I_{\mathrm {CM} }={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!}$。
正四面体，边长为s，质量为m		${\displaystyle I_{\mathrm {solid} }={\frac {1}{20}}ms^{2}\,\!}$ ${\displaystyle I_{\mathrm {hollow} }={\frac {1}{12}}ms^{2}\,\!}$[3]	“solid”意为实心，“hollow”意为空心，下同。
正八面体，边长为s，质量为m		${\displaystyle I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!}$[3] ${\displaystyle I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {1}{10}}ms^{2}\,\!}$[3]	—
细棒，长为L，质量为m		${\displaystyle I_{\mathrm {center} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!}$[1]	此表示法假设了棒的宽度和厚度可以忽略不计。此为前面实心长方体，当其w = L，h = d = 0时的特例。
细棒，长为L，质量为m		${\displaystyle I_{\mathrm {end} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!}$[1]	此表示法假设了棒的宽度和厚度可以忽略不计。
环面，圆管的半径为a，截面的半径为b，质量为m		关于直径：${\displaystyle {\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m\,\!}$[4] 关于纵轴：${\displaystyle \left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m\,\!}$	—
薄多边形，顶点为${\displaystyle {\vec {P}}_{1}}$，${\displaystyle {\vec {P}}_{2}}$，${\displaystyle {\vec {P}}_{3}}$，……，${\displaystyle {\vec {P}}_{N}}$，质量为${\displaystyle m}$		${\displaystyle I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum _{n=1}^{N}||{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}||({\vec {P}}_{n+1}^{2}+{\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n}+{\vec {P}}_{n}^{2})}{\sum _{n=1}^{N}||{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}||}}}$	外接圆半径为R，质量为m的正n边形，对过其中心且垂直于所在平面的轴的转动惯量${\displaystyle I={\frac {1}{2}}mR^{2}\left(1-{\frac {2}{3}}\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}\right)\,\!}$[5]

常见物理模型的三维惯量张量

以下列表给出了每个物体主轴（英语：Principal axis theorem）上的惯量张量。

为了保留上面的I的标量矩，I的张量矩根据以下式子被投射在由单位向量n所定义的方向上：

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} \equiv n_{i}I_{ij}n_{j}\,,}$

其中点积表示用到了张量收缩（英语：tensor contraction）和爱因斯坦求和约定。n可以是I_x, I_y, I_z的笛卡尔基e_x, e_y, e_z

描述	图形	惯量张量矩
实心球，半径为r，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{5}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{5}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{5}}mr^{2}\end{bmatrix}}}$
空心球，半径为r，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{3}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{3}}mr^{2}\end{bmatrix}}}$
实心椭球，半轴为a、b、c，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{5}}m(b^{2}+c^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{5}}m(a^{2}+c^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{5}}m(a^{2}+b^{2})\end{bmatrix}}}$
圆锥，半径为r，高为h，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {3}{5}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {3}{10}}mr^{2}\end{bmatrix}}}$
实心长方体，高为h，宽为w，长为d，质量为m	180x	${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})\end{bmatrix}}}$
端点绕y轴旋转的细棒，长为l，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}ml^{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&{\frac {1}{3}}ml^{2}\end{bmatrix}}}$
中心绕y轴旋转的细棒，长为l，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}ml^{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&{\frac {1}{12}}ml^{2}\end{bmatrix}}}$
实心圆柱，半径为r，高为h，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}mr^{2}\end{bmatrix}}}$
两端开通的厚圆柱，内半径为r1，外半径为r2，高为h，质量为m		${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{bmatrix}}}$

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