非对称关系

提示：此条目的主题不是反对称关系。

在数学中，非对称关系（英语：Asymmetric relation）是二元关系的一种。若集合 ${\displaystyle X}$ 上的二元关系 ${\displaystyle R}$ 为非对称关系，则对于所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$。换句话说，如果 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 存在关系，则 ${\displaystyle b}$ 至 ${\displaystyle a}$ 不存在关系^[1]。

正式定义

一个定义于 ${\displaystyle X}$ 上的二元关系 ${\displaystyle R}$ 是 ${\displaystyle X\times X}$ 的任何子集。给定 ${\displaystyle a,b\in X}$，我们将 ${\displaystyle (a,b)\in R}$ 简写为 ${\displaystyle aRb}$，读作“${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 存在关系 ${\displaystyle R}$（${\displaystyle a}$ is related to ${\displaystyle b}$ by ${\displaystyle R}$）”。

如果对于所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，若 ${\displaystyle aRb}$，则 ${\displaystyle b\not Ra}$（也就是 ${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$ ），则我们称 ${\displaystyle R}$ 是非对称的。以一阶逻辑的形式可以写成：

$${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)}$$

一个逻辑等价的定义如下：对于所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，${\displaystyle aRb}$ 与 ${\displaystyle bRa}$ 中至少有一为假。以一阶逻辑的形式可以写成：

$${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)}$$

非对称关系的一个例子是定义于实数上的“小于关系”，亦即 ${\displaystyle R=\{(a,b)\ |\ a<b\}}$。由于当 ${\displaystyle a}$ 小于 ${\displaystyle b}$ 时，${\displaystyle b}$ 一定不小于 ${\displaystyle a}$，因此 ${\displaystyle R}$ 是非对称的。另一方面，“小于等于关系”则不是非对称的，因为当 ${\displaystyle a=b}$ 时，${\displaystyle a\leq b}$ 和 ${\displaystyle b\leq a}$ 会同时成立，不符合非对称关系的定义。

非对称关系不代表对称关系的相反，上述的“小于等于关系”既不是非对称关系，也不是对称关系；而“空关系（${\displaystyle R=\emptyset }$）”是唯一同时是非对称关系，也是对称关系的关系。

非对称关系（Asymmetric）与反对称关系（Antisymmetric）的差异在于：反对称关系容许自反性，${\displaystyle (a,a)}$ 可以属于 ${\displaystyle R}$，而非对称关系不允许。如上述的“小于等于关系”即是反对称关系的一例。

特性

• 一个关系为非对称的，当且仅当该关系为反对称且非自反的^[2]。
• 对于一个非对称关系 ${\displaystyle R}$，对其施加限制或求其逆关系后，该关系同样是非对称的。例如，由“${\displaystyle <}$”定义的关系是非对称关系（若 ${\displaystyle a<b}$ 则 ${\displaystyle b\not <a}$），若将集合从实数限缩至整数，该关系同样是非对称的；求该关系的逆关系“${\displaystyle >}$”，该逆关系同样是非对称的。
• 一个递移关系为非对称的，当且仅当该关系为非自反的^[3]：若存在 ${\displaystyle aRb}$ 且 ${\displaystyle bRa}$ 使得该关系不是非对称，则由递移性可得到 ${\displaystyle aRa}$，使得该关系同样不是非自反关系。
• 一个关系为递移性的且非对称的，当且仅当该关系为严格偏序的。
• 一个非对称关系不一定是全关系。例如，由“严格子集”定义的关系是非对称关系（若 ${\displaystyle A\subset B}$ 则 ${\displaystyle B\not \subset A}$），但不是全关系（${\displaystyle \{1,2\}\not \subset \{3,4\}}$ 又 ${\displaystyle \{3,4\}\not \subset \{1,2\}}$）。

参见

• 反对称关系
• 对称关系