拓扑空间(英语:Topological space)是一种赋予“一点附近”这个概念的抽象数学结构,由此可以定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
拓扑结构最实用的动机,在于怎么去定义“一点的附近”,用以定义函数极限。
对于度量空间 内的任一点 ,可定义中心为 ,半径为 的开球
然后把开球视为点 附近的“开放边界区域”。但考虑到“区域”应该是有任意形状的,那一般的“开放边界区域”,应该是任取里面的点 ,都会有一个够小的开球 完全落在这个区域里,也就是说,可以定义 的开子集 为满足如下条件的子集合
这样定义的开集有一些有趣的性质:
(1) 任二开集的交集也是开集
任取两个 的开子集 ,若 ,根据定义存在 使得
这样若取 ,则会有:
也就是说, 也是个开集。
(2) 任意个开集的并集也会是开集
若 是一群开集所构成的集合,也就是说
如果取
换句话说:
这样的话,显然有
所以 也会是一个开集。
以上的性质促使人们在不依托度量情况下,去定义一个描述“一点的附近”的结构,换句话说,去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合,任二开集的交集是开的且任意开集的并集也是开的。
拓扑结构一词涵盖了开集系,闭集系,邻域系,开核,闭包,导集,滤子等若干概念。可以从这些概念出发,给出若干种等价结构。
根据定义动机一节可以作如下的定义:
的子集族 若满足以下开集公理
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正式定义
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直观解释
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本身和空集合也是开的
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有限个开集的交集也是开的
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任意个开集的并集也是开的
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Close
则称 为 的开集系(其中的元素称为开集)或拓扑, 则被称为一拓扑空间, 内的元素 则称为拓扑空间 的点。
开集系的代号 是字母“O”的德文尖角体,取名自德语形容词“offen”(开的)。
从开集系出发定义其它概念:( 为 的子集)
- 闭集:若 是开集,则称 是闭集。
- 邻域:若存在开集 使得 ,则称 是点 的邻域。
- 开核: 的开核(或内部) 定义为 内所有开集之并,也就是
的子集族 若满足如下闭集公理:
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正式定义
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直观解释
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本身和空集合也是闭的
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有限个闭集的并集是闭的
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任意个闭集的交集是闭的
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Close
则称 为 的闭集系(其中的元素称为闭集)。
开集系的代号 是字母“ F” 的德文尖角体,取名自法语动词“fermer”(关闭)的过去分词“fermé”(封闭的)。
根据德摩根定理和量词符号的意义,以下的子集族
为开集系,类似地,对于开集系 ,以下的子集族
为闭集系,所以闭集系跟拓扑是等价的结构。
从闭集系出发定义其它概念:( 为 的子集)
- 开集: 是闭集,则称 是开集。
- 闭包: 的闭包 定义为包含A的所有闭集之交,也就是