算术-几何平均数维基百科,自由的 encyclopedia 两个正实数 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术-几何平均数定义如下: 首先计算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 算术平均数(相加平均),称其为 a 1 {\displaystyle a_{1}} 。然后计算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 几何平均数(相乘平均),称其为 g 1 {\displaystyle g_{1}} ;这是 x y {\displaystyle xy} 的算术平方根。 a 1 = x + y 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}} g 1 = x y . {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.} 然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} : a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n . {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.} 这两个数列收敛于相同的数,这个数称为 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术-几何平均数,记为 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} ,或 a g m ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)} 。
两个正实数 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术-几何平均数定义如下: 首先计算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 算术平均数(相加平均),称其为 a 1 {\displaystyle a_{1}} 。然后计算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 几何平均数(相乘平均),称其为 g 1 {\displaystyle g_{1}} ;这是 x y {\displaystyle xy} 的算术平方根。 a 1 = x + y 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}} g 1 = x y . {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.} 然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} : a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n . {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.} 这两个数列收敛于相同的数,这个数称为 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术-几何平均数,记为 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} ,或 a g m ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)} 。