量子纠缠
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量子纠缠,即在量子力学里,当几个基础粒子在彼此相互作用后,由于各个粒子所拥有的特性已综合成为整体性质,无法单独描述各个粒子的性质,只能描述整体系统的性质,则称这现象为量子缠结或量子纠缠(quantum entanglement)[1]。量子纠缠是一种纯粹发生于量子系统的现象;在经典力学里,找不到类似的现象[2]:121。
假若对于两个相互纠缠的基础粒子分别测量其物理性质,像位置、动量、自旋、偏振等,则会发现量子关联现象。例如,假设一个零自旋粒子衰变为两个以相反方向移动分离的粒子。沿着某特定方向,对于其中一个粒子测量自旋,假若得到结果为上旋,则另外一个粒子的自旋必定为下旋,假若得到结果为下旋,则另外一个粒子的自旋必定为上旋;更特别地是,假设沿着两个不同方向分别测量两个粒子的自旋,则会发现结果违反贝尔不等式;除此以外,还会出现貌似佯谬般的现象:当对其中一个粒子做测量,另外一个粒子似乎知道测量动作的发生与结果,尽管尚未发现任何传递信息的机制,尽管两个粒子相隔甚远。
阿尔伯特·爱因斯坦、鲍里斯·波多尔斯基和纳森·罗森于1935年发表的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬(EPR佯谬)论述到上述现象[3]。埃尔温·薛定谔稍后也发表几篇关于量子纠缠的论文,并且给出“量子纠缠”这一术语[4][5]。爱因斯坦认为这种行为违背定域实在论,称之为“鬼魅般的超距作用”(spooky action at a distance),他总结,量子力学的标准表述不具完备性。然而,多年来完成的多个实验证实量子力学的反直觉预言正确无误,还检试出定域实在论不可能正确[6]。甚至当对于两个粒子分别做测量的时间间隔,比光波传播于两个测量位置所需的时间间隔还短暂之时,这现象依然发生,也就是说,量子纠缠的作用速度比光速还快。最近完成的一项实验显示,量子纠缠的作用速度至少比光速快10,000倍[7][8]。这还只是速度下限。根据量子理论,测量的效应具有瞬时性质[9][10]:421-422。可是,这效应不能被用来以超光速传输经典信息,因此并不违反因果律[10]:428。详情见通信禁律(英语:No-communication theorem)一文。
量子纠缠是很热门的研究领域。像光子、电子一类的微观粒子,或者像分子、巴克明斯特富勒烯、甚至像小钻石一类的介观粒子,都可以观察到量子纠缠现象[11]:263-270[12]。现今,研究焦点已转至应用性阶段,即在通讯、计算机领域的用途[2]:150,然而,物理学者仍旧不清楚量子纠缠的基础机制。
1935年,在普林斯顿高等研究院,爱因斯坦、博士后罗森、研究员波多尔斯基合作完成论文《物理实在的量子力学描述能否被认为是完备的?》,并且将这篇论文发表于5月份的《物理评论》[13]:303。这是最早探讨量子力学理论对于强关联系统所做的反直觉预测的一篇论文。在这篇论文里,他们详细表述EPR佯谬,试图借着一个思想实验来论述量子力学的不完备性质[3]。他们并没有更进一步研究量子纠缠的特性。
薛定谔阅读完毕EPR论文之后,有很多心得感想,他用德文写了一封信给爱因斯坦,在这封信里,他最先使用了术语Verschränkung(他自己将之翻译为“纠缠”),这是为了要形容在EPR思想实验里,两个暂时耦合的粒子,不再耦合之后彼此之间仍旧维持的关联[13]:313。不久之后,薛定谔发表了一篇重要论文,对于“量子纠缠”这术语给予定义,并且研究探索相关概念。薛定谔体会到这概念的重要性,他表明,量子纠缠不只是量子力学的某个很有意思的性质,而是量子力学的特征性质;量子纠缠在量子力学与经典思路之间做了一个完全切割[4]。如同爱因斯坦一样,薛定谔对于量子纠缠的概念并不满意,因为量子纠缠似乎违反在相对论中对于信息传递所设定的速度极限[14]。后来,爱因斯坦更讥讽量子纠缠为鬼魅般的超距作用[15]。
EPR论文很显然地引起了众多物理学者的兴趣,启发他们探讨量子力学的基础理论。但是除了这方面以外,物理学者认为这论题与现代量子力学并没有什么牵扯,在之后很长一段时间,物理学术界并没有特别重视这论题,也没有发现EPR论文可能有什么重大瑕疵[2]:38。EPR论文试图建立定域性隐变量理论来替代量子力学理论。1964年,约翰·贝尔提出论文表明,对于EPR思想实验,量子力学的预测明显地不同于定域性隐变量理论。概略而言,假若测量两个粒子分别沿着不同轴向的自旋,则量子力学得到的统计关联性结果比定域性隐变量理论要强很多,贝尔不等式定性地给出这差别,做实验应该可以侦测出这差别 [16]。因此,物理学者做了很多检试贝尔不等式的实验。
1972年,约翰·克劳泽与史达特·弗利曼(Stuart Freedman)首先完成这种检试实验[17]。1982年,阿兰·阿斯佩的博士论文是以这种检试实验为题目[18]。他们得到的实验结果符合量子力学的预测,不符合定域性隐变量理论的预测,因此证实定域性隐变量理论不成立。但是,至今为止,每一个相关实验都存在有漏洞,这造成了实验的正确性遭到质疑,在作总结之前,还需要完成更多精确的实验[19]。
这些年来,众多的卓越研究结果促成了应用这些超强关联来传递信息的可能性,从而导致了量子密码学的成功发展,最著名的有查尔斯·贝内特(Charles Bennett)与吉勒·布拉萨(Gilles Brassard)发明的BB84协议、阿图尔·艾克特(Artur Eckert)发明的E91协议。
2017年6月16日,量子科学实验卫星墨子号首先成功实现,两个量子纠缠光子被分发到相距超过1200公里的距离后,仍可继续保持其量子纠缠的状态。[20]
2018年4月25日,芬兰阿尔托大学教授麦卡·习岚帕(Mika Sillanpää)领导的实验团队成功地量子纠缠了两个独自振动的鼓膜。每个鼓膜的宽度只有15微米,约为头发的宽度,是由1015个金属铝原子制成。通过超导微波电路,在接近绝对零度(-273°C)下,两个鼓膜持续进行了约30分钟的互动。这实验演示出巨观的量子纠缠。[21]
假设一个零自旋中性π介子衰变成一个电子与一个正电子[10]:421-422。这两个衰变产物各自朝着相反方向移动。电子移动到区域A,在那里的观察者“爱丽丝”会观测电子沿着某特定轴向的自旋;正电子移动到区域B,在那里的观察者“鲍勃”也会观测正电子沿着同样轴向的自旋。在测量之前,这两个纠缠粒子共同形成了零自旋的“纠缠态”,是两个直积态(product state)的叠加,以狄拉克标记表示为
- ;
其中,、分别表示粒子的自旋为上旋或下旋。
在圆括弧内的第一项表明,电子的自旋为上旋当且仅当正电子的自旋为下旋;第二项表明,电子的自旋为下旋当且仅当正电子的自旋为上旋。两种状况叠加在一起,每一种状况都有可能发生,不能确定到底哪种状况会发生,因此,电子与正电子纠缠在一起,形成纠缠态。假若不做测量,则无法知道这两个粒子中任何一个粒子的自旋,根据哥本哈根诠释,这性质并不存在。这单态的两个粒子相互反关联,对于两个粒子的自旋分别做测量,假若电子的自旋为上旋,则正电子的自旋为下旋,反之亦然;假若电子的自旋下旋,则正电子自旋为上旋,反之亦然。量子力学不能预测到底是哪一组数值,但是量子力学可以预言,获得任何一组数值的概率为50%[10]:421-422。
爱丽丝测量电子的自旋,她可能会得到两种结果:上旋或下旋,假若她得到上旋,则根据哥本哈根诠释,纠缠态坍缩为第一个项目所代表的量子态,随后,鲍勃测量正电子的自旋,他会得到下旋的概率为100%;类似地,假若爱丽丝测量的结果为下旋,则纠缠态坍缩为第二个项目所代表的量子态,随后鲍勃会测量得到上旋。
设想一个类比的经典统计学实验,将一枚硬币沿着圆周切成两半,一半是正面,另一半是反面,将这两枚半币分别置入两个信封,然后随机交给爱丽丝与鲍勃。假若爱丽丝打开信封,查看她得到的是哪种硬币,她将无法预测这结果,因为得到正面或反面的概率各为50%。鲍勃也会遇到同样的状况。可以确定的是,假若爱丽丝得到正面,则鲍勃会得到反面;假若爱丽丝得到反面,则鲍勃会得到正面。这两个事件完全地反关联[注 1]。
在先前的量子纠缠实验里,爱丽丝与鲍勃分别测量粒子沿着同样轴向的自旋,虽然这涉及到量子关联,他们仍旧会得到与经典关联实验同样的结果。怎样区分量子关联与经典关联?假若爱丽丝与鲍勃分别测量粒子沿着不同轴向的自旋,而不是沿着同样轴向,然后检验实验数据是否遵守贝尔不等式,则他们会发觉,量子纠缠系统必定违反贝尔不等式,而经典物理系统必定遵守贝尔不等式。因此,贝尔不等式乃是一种很灵敏的侦测量子纠缠的工具。量子纠缠实验所涉及的量子关联现象无法用经典统计物理学概念来解释,在经典统计物理学里,找不到类似案例[22]:61-65[注 2]。
粒子沿着不同轴向的自旋彼此之间是不相容可观察量,对于这些不相容可观察量作测量必定不能同时得到明确结果,这是量子力学的一个基础理论。在经典力学里,这基础理论毫无意义,理论而言,任何粒子性质都可以被测量至任意准确度。贝尔定理意味着一个事实,一个已被实验检试的事实,即对两个不相容可观察量做测量得到的结果不遵守贝尔不等式[23]。因此,基础而言,量子纠缠是个非经典现象。
不确定性原理的维持必须倚赖量子纠缠机制。例如,设想先前的一个零自旋中性π介子衰变案例,两个衰变产物各自朝着相反方向移动,现在分别测量电子的位置与正电子的动量,假若量子纠缠机制不存在,则可借着守恒定律预测两个粒子各自的位置与动量,这违反了不确定性原理。由于量子纠缠机制,粒子的位置与动量遵守不确定性原理。
从以相对论性速度移动的两个参考系分别测量两个纠缠粒子的物理性质,尽管在每一个参考系,测量两个粒子的时间顺序不同,获得的实验数据仍旧违反贝尔不等式,仍旧能够可靠地克隆出两个纠缠粒子的量子关联[24][25]。
以下各小节是为那些具有量子力学正式的数学描述的一个良好的工作知识的读者而写,包括文章推导中熟悉的形式和理论框架:狄拉克符号(BRA-KET符号)和量子力学的数学表述。本章节涉及到密度算符概念,若不熟悉密度算符相关概念,请先阅读条目密度算符。
假设一个复合系统是由两个子系统A、B所组成[注 3],这两个子系统A、B的希尔伯特空间分别为、,则复合系统的希尔伯特空间为张量积
- 。
设定子系统A、B的量子态分别为、,假若复合系统的量子态不能写为张量积,则称这复合系统为子系统A、B的纠缠系统,两个子系统A、B相互纠缠。
假设一个复合系统是由两个不相互作用的子系统A、B所组成,子系统A、B的量子态分别为、,则复合系统的量子态为
- 。
这种形式的量子态称为直积态(product state)。量子态具有可分性(separability),是“可分态”。对于子系统A做测量,必定不会影响到子系统B;反之亦然。因此,对于这种复合系统,测量任意子系统的可观察量时,不必考虑到另外一个子系统。
假设子系统A、B相互耦合,则复合系统的量子态不能用单独一项直积态表示,必须用多项直积态的量子叠加表示。量子态不具有可分性,是“纠缠态”。假设、分别为希尔伯特空间、的规范正交基。在希尔伯特空间里,这复合系统的量子态可以表示为
- ;
其中,是复系数。
例如,假设、分别为规范正交基的基底向量,、分别为规范正交基的基底向量。以下形式的量子态是一个纠缠态:
- 。
现在假设爱丽丝、鲍勃分别是子系统A、B的观察者,规范正交基的基底向量、为可观察量的本征态向量,对应的本征值分别为、。规范正交基的基底向量、为可观察量的本征态向量,对应的本征值分别为、。假设爱丽丝测量可观察量,则结果可能有两种结果,每一种结果发生的概率相同,都是50%:[26]
- 爱丽丝测量可观察量的结果为0,量子态坍缩为,那么,鲍勃在之后测量可观察量的结果为1。
- 爱丽丝测量可观察量的结果为1,量子态坍缩为,那么,鲍勃在之后测量可观察量的结果为0。
由此可见,爱丽丝对子系统A测量可观察量这定域动作改变了子系统B,尽管子系统A、B之间可能相隔很长一段距离,这就是两个子系统量子纠缠的现象。更详尽内容,请参阅EPR佯谬。
由于爱丽丝测量得到的结果具有随机性,爱丽丝不知道复合系统会怎样坍缩,她不能够以超光速传递这信息给鲍勃,因此,没有违反因果性(causality)。更详尽内容,请参阅不可通讯定理(no-communication theorem)。
混合态是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态、、、……的概率分别为、、、……,则这混合态量子系统的密度算符定义为
- 。
注意到所有概率的总和为1:
- 。
将先前对于纯态的可分性所做的定义加以延伸,具有可分性的两体混合态,其密度算符可以写为[2]:131-132
- ;
其中,是正实值系数,可以诠释为概率,是子系统A的一组密度算符,是子系统B的一组密度算符。
假若两体混合态可以以上述方程表示,则这混合态具有可分性,其量子系统遵守贝尔不等式,不被量子纠缠;否则,这混合态具有不可分性,是纠缠态,其量子系统被量子纠缠,但并不一定会违反贝尔不等式[2]:131-132。
一般而言,很不容易辨识任意混合态量子系统到底是否被量子纠缠。一般两体案例已被证明为NP困难[27]。对于与案例,佩雷斯-霍罗德基判据(Peres-Horodecki criterion)是可分性的充要条件[28]。
怎样做实验制成混合态?试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统,这系统拥有很多个微观态(microstate),伴随每一个微观态都有其发生的概率(玻尔兹曼因子),它们会因热力学涨落(thermal fluctuation)从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序,例如,将光束通过表面粗糙的双折射晶体,使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制,有些放射性衰变会发射两个光子朝着反方向移动离开,这纠缠系统的量子态为;其中,、分别为右旋圆偏振态、左旋圆偏振态。整个系统是处于纯态,但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子,从分析光子子系统的约化密度算符,可以得到这结论。
约化密度算符的点子最先由保罗·狄拉克于1930年提出[29]。假设由两个子系统A、B所组成的复合系统,其量子态为纯态,其密度算符为
- 。
这密度算符也是投影算符,能够将复合系统的希尔伯特空间里的任意量子态投影到量子态:
- 。
取密度算符对于子系统B的偏迹数,可以得到子系统A的约化密度算符:
- 。
例如,先前提到的纠缠态,其子系统A的约化密度算符为
- 。
如同预想,这公式演示出,子系统A的约化密度算符为混合态。