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Θ函数

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数学中,Θ函数是一种多复变英语Several complex variables特殊函数。其应用包括阿贝尔簇英语Abelian variety模空间二次形式孤立子理论;其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论,尤其于超弦D-膜理论。

Jacobi theta 1
Jacobi theta 1
Jacobi theta 2
Jacobi theta 2
Jacobi theta 3
Jacobi theta 3
Jacobi theta 4
Jacobi theta 4

Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量,Θ函数是拟周期函数(quasiperiodic function),具有“拟周期性”。在一般下降理论英语Descent (mathematics)中,Θ函数是来自线丛英语Line bundle条件。

雅可比Θ函数

雅可比Θ函数取二变量,其中为任何复数,而上半复平面上一点;此函数之定义为:

若固定 ,则此成为一周期为的单变量整函数傅里叶级数

在以 位移时,此函数符合:

其中 为整数。

辅助函数

可定义辅助函数:

其中符号依黎曼芒福德之习惯;雅可比的原文用变量替换了,而称本条目中的Θ为

若设,则我们可从以上获得四支单以为变量之函数,其中取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”(theta constant);我们可以用Θ函数定义一系列模形式,或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得:

,

是为四次费马曲线

雅可比恒等式

雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用;模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设:

nome q表示Θ函数

我们可用变量,代替,来表示ϑ。设。则ϑ可表示为:

而辅助Θ函数可表示为:

此表示式不需要指数函数,所以适用于指数函数无每一处定义域,如p进数域。

乘积表示式

雅可比三重积恒等式(Jacobi's triple product identity)中指出:若有复数,其中,则

此式可以用基本方法证明,如戈弗雷·哈罗德·哈代爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》(英语:An Introduction to the Theory of Numbers)。

若用nome变量表示,则有:

由此得到Θ函数的积公式:

三重积等式左边可以扩展成:

这个式子在z取实值时尤为重要。 各辅助Θ函数亦有类似之积公式:

积分表示式

雅可比Θ函数可用积分表示,如下:

与黎曼ζ函数的关系

黎曼常用关系式

以证黎曼ζ函数函数方程。他写下等式:

而此积分于替换下不变。 非零时之积分,在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

与基本椭圆函数之关系

雅可比用Θ函数来构造椭圆函数,并使其有易于计算之形式,因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商,这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造:

其中二次微分相对于z,而常数c使罗朗级数(于 z = 0)常项为零,因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数,和为零,而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零,所以这是必要的。

与模形式之关系

设η为戴德金η函数。则

.

解热方程

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值,τ = itt取正值。则有

此解此下方程:

t = 0时,Θ函数成为“狄拉克梳状函数”(Dirac comb)

其中δ为狄拉克δ函数,故可知此解是唯一的。 因此,一般解可得自t = 0时的(周期)边界条件与Θ函数的卷积。

与海森堡群之关系

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

推广

F为一n二次型,则有一关连的Θ函数

其中Zn为整数格。此Θ函数是模群(或某适当子群)上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

中,RF(k) 称为此模形式之“表示数”(representation numbers)。

拉马努金Θ函数

黎曼Θ函数

为一集对称方矩阵,其虚部为正定,一般称Hn为“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z): 当n = 1 时, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群(congruence subgroup)的n维推广为态射核

若设,则可定义黎曼Θ函数

其中为一n维复向量,上标T转置。然则雅可比Θ函数为其特例(设n = 1、 ;其中为上半平面)。

的紧致子集上,黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为:

此方程成立于 ,

q-Θ函数

参考文献

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
  • G. H. Hardy and E. M. Wright,An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
  • David Mumford,Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
  • James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
  • Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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