一元布尔代数
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在抽象代数中,一元布尔代数是带有如下标识(signature)的代数结构
- <A, ·, +, ', 0, 1, ∃> 有型 <2,2,1,0,0,1>,
这里的 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布尔代数。
- ∃0 = 0
- ∃x ≥ x
- ∃(x + y) = ∃x + ∃y
- ∃x∃y = ∃(x∃y).
∃x 是 x 的“存在闭包”。对偶于 ∃ 的是一元算子 ∀,它是全称量词,定义为 ∀x := (∃x' )'。
一元布尔代数有对偶公式,取 ∀ 为原始,把 ∃ 定义为 ∃x := (∀x ' )' 。所以对偶的代数有标识 <A, ·, +, ', 0, 1, ∀>,带有 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布尔代数。此外,∀ 满足上面恒等式的对偶版本:
- ∀1 = 1
- ∀x ≤ x
- ∀(xy) = ∀x∀y
- ∀x + ∀y = ∀(x + ∀y).
∀x 是 x 的“全称闭包”。