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不可及数

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不可及数(Untouchable Number)是这样的一些正整数,它们无法表示为任意一个正整数(包括它自己)的全部正因子(自身不算)之和。

比如5就是不可及数。5可以表示为1+4,这是唯一加数中有1,且加数没有重复的分解方式。不过,如果4是某个数的因数,则2也是它的因数,因此1和4明显不能是任何一个数所有的正因子,2也必须包括进来。5=2+3的分解方式不包括1,因此也是不符要求的。别的分解方式必然包括相同的数,因此也不符合要求。

相反的,4就不是不可及数,因为4可以表示为1+3,这是9的正因子(不考虑9本身)的和,因此4不是不可及数。

在线数列百科OEISA005114数列展示了递增排列的不可及数:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

保罗·埃尔德什证明了不可及数有无穷多个。

人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数,但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想[1]得到此推论。如果这个猜想成立,那么除了2和5,不可及数都应该是合数。

完全数显然不是不可及数:完全数正好等于自身所有因子之和。

梅森数显然不是不可及数:2的幂的真约数和正好等于梅森数。

质数进位由1组成的纯位数显然不是不可及数:质数幂的真约数和等于质数进位由1组成的纯位数

不可及数不可能比素数多1:显然任何素数p的平方的因子之和为p+1。

不可及数不可能比素数多3:显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。

参考资料

  1. ^ 即在原有条件下要求两个素数不相同。请参看:Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W. Untouchable Number. MathWorld. 
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