群扩张

在抽象代数中，设 ${\displaystyle Q}$ 为群，若存在群 ${\displaystyle G,N}$，及群的正合序列

${\displaystyle 1\to N{\stackrel {i}{\to }}G{\stackrel {p}{\to }}Q\to 1}$

（换言之，${\displaystyle i}$ 是单射、${\displaystyle p}$ 是满射，且 ${\displaystyle \mathrm {Ker} (p)=\mathrm {Im} (i)}$；是故可视 ${\displaystyle N}$ 为 ${\displaystyle G}$ 的正规子群，${\displaystyle G/N\simeq Q}$。）则称群 ${\displaystyle G}$ 为 ${\displaystyle Q}$ 的群扩张，或称 ${\displaystyle Q}$ 对 ${\displaystyle N}$ 的扩张。

由短正合序列的同构关系，可以定义群扩张的等价类。若某个群扩张等价于

${\displaystyle 1\to N\to N\times Q\to Q\to 1}$

则称此扩张为平凡扩张。当 ${\displaystyle N}$ 落在 ${\displaystyle G}$ 的中心时，称之为中心扩张。

分类

一般的群扩张不易分类。若限定 ${\displaystyle G}$ 为阿贝尔群，则 ${\displaystyle Q}$ 对 ${\displaystyle N}$ 的扩张等价类一一对应于 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}$（参见条目 Ext函子）。

另一方面，若在群扩张 ${\displaystyle 0\to A\to E\to G\to 1}$ 中，${\displaystyle A}$ 为阿贝尔群，可任取一截面 ${\displaystyle s:G\to E}$（s 不一定是群同态），群 ${\displaystyle G}$ 以共轭方式 ${\displaystyle a\mapsto s(g)as(g)^{-1}}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上作用。这类扩张的等价类由群上同调 ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ 分类，并具有自然的群结构。最常见的例子是中心扩张。

李代数的扩张

利用同样作法，也可以定义李代数的扩张。此即李代数的正合序列

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {g}}\to 0}$

若 ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {e}}]=0}$，称之为中心扩张。

参考资料

• V.E. Govorov, Extension of a group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4