二次域 - Wikiwand
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二次域

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代数数论中,二次域是在有理数上次数为二的数域。二次域可以唯一地表成,其中无平方数约数。若,称之为实二次域;否则称为虚二次域复二次域。虚实之分在于是否为全实域

二次域的 研究肇源甚早,起初是作为二次型理论的一支。二次域是代数数论的基本对象之一,虽然如此,至今仍有一些未解猜想,如类数问题。

整数环与判别式

二次域里的整数环定义为该域中的代数整数。当时,整数环可描述为,否则为。当时,这些整数称为高斯整数,当时,称为艾森斯坦整数

根据上述描述,的判别式不难计算:当时判别式为,否则则为

二次域上的分歧理论

素数。数论关注的问题是如何在中分解成素理想之积。根据数域的分歧理论,应考虑以下情形:

  • 是惯性的:仍为素理想,此时
  • 分裂:为两个相异素理想之积,此时
  • 分歧:为某个素理想之平方,此时含有非零的幂零元。

根据之前对判别式的计算,可知分歧当且仅当整除的判别式(,取决于);对其余无穷多个素数,前两个情形皆会发生,而且其概率在某种意义上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p(p>2)次根群所产生二次子域,也是伽罗瓦理论(埃瓦里斯特·伽罗瓦)的一个结论,在有理域上有惟一指数2Galois子群,,二次域特例d=-1时成称高斯整环,有判别式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解,高斯整环分歧条件叫高斯周期(Gaussian period)。

其他的分圆域

如果一个分圆域,他们有额外的2-扭伽罗瓦群,那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域判别式D的可以得到D次单位根组成的子域(D-th roots of unity)。这表示一个事实,即二次域的前导子(conductor) 是判别式D的绝对赋值 (value) 。

参考文献

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