二次方程 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 二次方程.

二次方程

维基百科,自由的百科全书

此条目需要补充更多来源。 (2014年5月28日)请协助添加多方面可靠来源以改善这篇条目,无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。

二次方程是一种整式方程,主要特点是未知项的最高次数是2,其中最常见的是一元二次方程[1]

一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程,它的一般形式为:,其中 为方程的二次项,为方程的二次项系数为一次项,为一次项系数;常数项。若,则该方程没有二次项,即退变为一元一次方程

求根公式

■
  
    
      
        y
        =
        
          
            3
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        x
        −
        
          
            4
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y={\frac {3}{2))x^{2}+{\frac {1}{2))x-{\frac {4}{3))\,}
  
  ■
  
    
      
        y
        =
        −
        
          
            4
            3
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            4
            3
          
        
        x
        +
        
          
            1
            3
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y=-{\frac {4}{3))x^{2}+{\frac {4}{3))x+{\frac {1}{3))\,}
  
  ■
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2))\,}



一元二次方程根的判别式为

,则该方程有两个不相等的实数根:

,则该方程有两个相等的实数根:

,则该方程有一对共轭复数根:

由上可知,在实数范围内求解一元二次方程,当时,方程才有根(有两个不等实数根或两个相等实数根);当时,方程无解。

根与系数的关系

是一元二次方程 )的两根,则

两根之和:

两根之积:

求根公式的由来

中亚细亚花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式,并把方程的未知数叫做“根”,其后译成拉丁文radix

我们通常把 称之为 的求根公式:

或不将系数化为1:

对应函数的极值

),
求导,得


,得


即为 极值点,该式亦为函数图形(即抛物线)的对称轴方程。 将 代入 ,可得


即为 的极值。

根据函数取极值的充分条件,即:
的极大值点,
的极小值点;
,可知:
时(抛物线开口向下),的极大值点;
时(抛物线开口向上),的极小值点。

参见

参考

  1. ^ 一般二次方程的讨论
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
二次方程
Listen to this article