代数扩张 - Wikiwand
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代数扩张

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代数扩张抽象代数域扩张的一类。一个扩张L/K被称作代数扩张当且仅当L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多项式的根。反之则称之为超越扩张。最简单的代数扩张例子有:

定义

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/KL某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多项式的根,则称其为K上的代数元。如果L中所有元素都是K上的代数元,就称域扩张L/K为代数扩张。

次数

设有域扩张L/KL可以看作是K上的向量空间,将其维度称作这个扩张的次数,记作[L:K]。有限次数的扩张(简称有限扩张)都是代数扩张;反之,给定一个代数扩张L/K,则L里的任一元素都是L/K的某个有限子扩张KFL。但代数扩张本身并不一定是有限扩张一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限

代数扩张与多项式的根

在一个代数扩张L/K中,L中的每个元素α都是某个以K中元素为系数的多项式(以下简称K-多项式,所有K-多项式的集合记作K[X]f的根。所有以α为根的K-多项式中次数最低者称作α极小多项式(通常要求其为首一多项式,即最高次项系数等于一,以保证唯一性)。极小多项式总是不可约多项式。

K-多项式f不可约,则商环L := K[X]/( f )K的一个域扩张,它的次数[L : K] = deg(f),而且不定元X在商环中的像是在f的一个在L中的根,其极小多项式正是f。通过这种构造,我们可抽象地加入某个多项式的根。例如就是在实数域中添加了虚数单位i得到的扩域:复数域

给定域扩张L/K,如果K-多项式f可以在L中分解成一次因子的积,则称fL分裂。根据上述构造,总是可以找到一个足够大的代数扩张K'/K使得f分裂;K'里满足此性质的“最小”子扩张称作fK上的分裂域fK上的任两个分裂域至多差一个K上的同构(即:一个限制在K上的部分为恒等映射的环同构)。

正规扩张

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一个代数扩张L/K被称作正规扩张,当且仅当它满足下述三个等价条件之一:

  • 固定代数闭包Kalg,任何K上的(即在K上是恒等映射的)域嵌入σ : LKalg,都有σ(L) = L
  • 存在一族在L上分裂的多项式,使得L/K是在K中添加它们的根生成的域扩张。
  • K[X]中任何不可约多项式若在L里有根,则在L里分裂(全部的根都在L里面)。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着K[X]里的一个多项式。

例子

  • 上的分裂域是
  • 上的分裂域是
  • 上的分裂域是
  • 是正规域扩张, 却不是,因为后者并没有包括的所有根,欠了

可分扩张

L/K为代数扩张,如果α的极小多项式没有重根,则称α可分(重根的存在性与域扩张的选取无关,可分性等价于(f, f' ) = 1,这可以直接在K中计算)。所有可分元素形成一个中间域KFL[L : K]s := [Ls : K]称作L/K可分次数。若Ls = ; L,则称L/K可分扩张

L/K是有限扩张时,定义不可分次数[L : K]i := [L : K]/[L : K]s。当基域的特征为零时,任何代数扩张都是可分的;任何有限域的扩张也都是可分的。

参考文献

外部链接

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代数扩张
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