代数 (环论) - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 代数 (环论).

代数 (环论)

维基百科,自由的百科全书

环论

数学中,交换环上的代数多元环是一种代数结构,上下文不致混淆时通常迳称代数

本页面中的环都是指有单位的环,并使用么环一词表示则是不一定有单位的环。

定义

给定一个交换环

代数

给定一个四元组 。如果以下两个条件成立:

  1. 是一个 -
  2. 是一个 的内部运算(即),并且是-双线性的。也就是说内部运算符合以下三点:

那么我们说四元组 是一个 上的代数(或称 -代数),或简称集合 是一个-代数

结合代数、有单位的代数、交换代数

为一个 -代数

  • 如果内部运算符合结合律,那么我们说 是一个结合代数
  • 如果内部运算有一个单位元(即 ),那么此单位元是唯一的并且我们说 是一个有单位的代数
  • 如果内部运算符合交换律,那么我们说 是一个交换代数

:有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数,或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。

等价定义

一样给定一个交换环

给定一个四元组 。 这是一个上的结合代数结合且有单位的代数结合、有单位且交换的代数)当且仅当以下三个条件成立:

  1. 是一个 -
  2. 是一个么环(一个环、一个交换环)。
  3. 是一个 的内部运算(即),并且是-双线性的。

注:上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为:

  • 是一个 的内部运算(即),并符合

上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数:

  • 给定一个结合且有单位-代数 就等于给定一个二元组 :其中 是一个环,而 是一个满足 的环同态。( 代表环 的中心,也就是 )。

原因是如果 是一个结合且有单位的-代数,那么 是一个环并且 是一个环同态,满足。反过来看,如果 是一个环,而 是一个满足 的环同态,那么我们可以定义外部运算(即)。 上环的结构与此外部运算结构使其成为一个 -模并且成为一个结合且有单位的 -代数。

将上述性质套用在交换环上,我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法:

  • 给定一个结合、有单位且交换-代数 就等于给定一个二元组 :其中 是一个交换环,而 是一个的环同态。

代数同态

-代数,-模间的同态 被称作 -代数间的同态,当且仅当它满足 。因此所有 -代数构成一个范畴,也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态

结构常数

-代数。当 是个自由的有限秩 -模(当 为域且 时自动成立)时,可选定一组基底 ,并将乘法写作

(采用爱因斯坦记号

此时常数 称作 对基底 结构常数

例子

  • 对于矩阵 附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的-代数。
  • 对二阶以上的矩阵环,假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为 ,此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
  • 欧氏空间 对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的 -代数。这是一个李代数的例子。
  • 四元数 是一个非交换但结合且有单位的 -代数。
  • 八元数 是一个非交换、非结合但有单位的 -代数。
  • 考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数所形成的集合,附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的-代数。

除了交换结合代数外,一般常研究的几类代数包括李代数、Clifford代数、约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。

代数上也可以赋予拓扑结构,并要求代数运算是连续的;最突出的例子是巴拿赫代数,这是现代泛函分析的基石之一。

参见

文献

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
代数 (环论)
Listen to this article