伯努利微分方程

伯努利微分方程是形式如 ${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$ 的常微分方程。

解法

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

代入 ${\displaystyle w={y^{1-n}}\,}$ （注意 ${\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'}$ ）：

${\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)}$

此一阶常微分方程可用积分因子求解。

例子

解以下微分方程。

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

两边除以${\displaystyle y^{2}}$，得：

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

利用分离变数法，可得：

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$

它可以用积分因子的方法来解出。

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.}$

两边乘以${\displaystyle M(x)}$，得：

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$

等式的左边是${\displaystyle wx^{2}}$的导数。两边积分，得：

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

于是：

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}$

参见

• 里卡蒂方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程
• 线性微分方程

外部链接

• Bernoulli equation. PlanetMath.
• Differential equation. PlanetMath.
• Index of differential equations. PlanetMath.