伯恩施坦不等式维基百科,自由的 encyclopedia 在概率论中,伯恩施坦不等式(Bernstein inequalities)给出了随机变量的和对平均值偏离的概率。在最简单的情况下,设 X 1 , ⋯ , X n {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}} 是独立的伯努利随机变量,取值+1和-1的概率各是1/2,则对任意正数 ε {\displaystyle \varepsilon } P ( | 1 n ∑ i = 1 n X i | > ε ) ≤ 2 exp ( − n ε 2 2 ( 1 + ε / 3 ) ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}\right|>\varepsilon \right)\leq 2\exp {\left(-{\frac {n\varepsilon ^{2}}{2(1+\varepsilon /3)}}\right)}} 伯恩施坦不等式由谢尔盖·伯恩施坦于1920年代证明,并于1930年代发表[1][2][3][4]。之后,这些不等式多次被其他数学家独立地发现。因此,伯恩施坦不等式的一些特例也被称为Chernoff界,Hoeffding不等式,以及吾妻不等式。
在概率论中,伯恩施坦不等式(Bernstein inequalities)给出了随机变量的和对平均值偏离的概率。在最简单的情况下,设 X 1 , ⋯ , X n {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}} 是独立的伯努利随机变量,取值+1和-1的概率各是1/2,则对任意正数 ε {\displaystyle \varepsilon } P ( | 1 n ∑ i = 1 n X i | > ε ) ≤ 2 exp ( − n ε 2 2 ( 1 + ε / 3 ) ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}\right|>\varepsilon \right)\leq 2\exp {\left(-{\frac {n\varepsilon ^{2}}{2(1+\varepsilon /3)}}\right)}} 伯恩施坦不等式由谢尔盖·伯恩施坦于1920年代证明,并于1930年代发表[1][2][3][4]。之后,这些不等式多次被其他数学家独立地发现。因此,伯恩施坦不等式的一些特例也被称为Chernoff界,Hoeffding不等式,以及吾妻不等式。