伯恩施坦问题 - Wikiwand
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伯恩施坦问题

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微分几何中,伯恩施坦问题如下:如果在Rn−1上的函数图象是Rn中的极小曲面,那么函数是否必然是线性函数?这个结果在维数n不大于8时成立,但n不小于9时不成立。这条问题是以俄罗斯数学家谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩施坦命名,他在1914年解出了n = 3的情形。

问题

f是一个有n - 1个实变数的函数。f的图象是Rn中的曲面。这曲面的极小曲面条件,就是f满足极小曲面方程

伯恩施坦问题是指,如果一个在整个Rn−1上有定义的函数f符合这条方程,f是否必然是一次多项式。

历史

Bernstein (1915–1917)证明了伯恩施坦定理:一个在R2上的实函数的图象如果是R3中极小曲面,这曲面必定是平面。

Fleming (1962)给出了伯恩施坦定理的新证明,用了R3中没有非平面的面积最小化锥的结果推断出定理。

De Giorgi (1965)证明了如果Rn−1中没有非平面的面积最小化锥,那么伯恩施坦定理的类似结果在Rn成立,特别是这结果可以推出定理在R4中成立。

Almgren (1966)证明了R4中没有非平面的面积最小化锥,将伯恩施坦定理推广到R5

Simons (1968)证明了R7中没有非平面的面积最小化锥, 将伯恩施坦定理推广到R8。他也给出了R8中的局部稳定锥的一些例子,并问这些例子是否整体面积最小化。

Bombieri,De Giorgi & Giusti (1969)证明了詹姆斯·西蒙斯的锥确实是整体最小化的,并证明了Rn对于n≥9时,有图象是极小曲面但不是超平面。连同西蒙斯的结果,这显示了伯恩施坦定理的类似结果,在维数上到8时是对的,在更高维数是错的。

参考

外部链接

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