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伽罗瓦理论

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数学中,特别是抽象代数理论中,由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦Évariste Galois)得名的伽罗瓦理论提供了域论群论之间的联系。应用伽罗瓦理论,域论中的一些问题可以化简为更简单易懂的群论问题。

伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式与系数间的关系。由戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)、利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)、埃米尔·阿廷(Emil Artin)等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。

伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接理论。

在经典问题上的应用

伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为阿贝尔-鲁菲尼定理的问题:

伽罗瓦理论不仅对于这个问题提供了一个漂亮的解答,而且详细的解释了为什么四次及更低次方程代数解,以及它们的代数解为什么是那样的形式。

伽罗瓦理论还给出了一些有关尺规作图的问题的清晰洞察。它给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅的描述。这样,一些经典几何问题的解答变得相对容易:

伽罗瓦理论的置换群描述

如果我们给定一个多项式,它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如,有两个根AB,它们满足方程A2 + 5B3 = 7。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的置换:这些根所满足的任何代数方程,在置换之后也依然成立。一个重要的限制条件是我们要把代数方程的系数限定为有理数。(其实也可以把系数限定在其他的一个给定的,但是为了简单起见,我们限制在有理数域。)

这些置换形成了一个置换群,也称为这个多项式(在实数域上)的伽罗瓦群。这可以很清晰的举例说明。

第一个例子:二次方程

考虑如下的一元二次方程

应用一元二次方程的求根公式,我们可以求出它的两个根为

AB满足的代数方程例如:

显然在这些方程中,如果我们交换AB,我们同样能得到真命题。例如,方程A + B = 4简单的变成了B + A = 4。进一步的,这对于AB满足的所有可能的代数方程都成立。证明这个结论需要对称多项式的理论。

我们可以总结出,多项式x2 − 4x + 1的伽罗瓦群由两个置换构成:保持AB不变的恒同变换,以及交换AB位置的对换。它是一个二阶循环群,因此同构Z/2Z

这里会有人产生疑问:AB同样满足另一个代数方程,但交换AB时这个方程并不能保持不变。其实这并不是个问题,因为它不是有理系数方程:是一个无理数

类似地可以讨论任意二次多项式ax2 + bx + c,其中a, bc都是有理数。

  • 如果多项式只有一个根,例如x2 − 4x + 4 =(x−2)2,那么伽罗瓦群是平凡的;也就是说,它只包括恒同变换。
  • 如果多项式有两个不同的有理根,例如x2 − 3x + 2 =(x−2)(x−1),伽罗瓦群同样是平凡的。
  • 如果多项式有两个无理根(包括根是复数的情况),那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

第二个例子—有些技巧性

考虑多项式

也可以写成

我们同样希望在有理数域上描述这个多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根:

这四个根有24种可能的排列,但这些排列并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持所有A, B, CD满足的有理系数代数方程。这样的方程例如:

A + D = 0.

因此置换

(A, B, C, D)→(A, B, D, C)

是不允许的,因为它把真等式A + D = 0变成了假等式A + C = 0,因为A + C = 2√3 ≠ 0.

这些根满足的另一个等式为:

(A + B)2 = 8.

这也会去掉一些置换,例如:

(A, B, C, D)→(A, C, B, D)。

如此继续下去,我们可以求出满足所有等式的置换只有:

(A, B, C, D)→(A, B, C, D)
(A, B, C, D)→(C, D, A, B)
(A, B, C, D)→(B, A, D, C)
(A, B, C, D)→(D, C, B, A),

因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群

现代的域论描述

现代的研究方法是从代数扩张L/K开始,并分析L/K自同构群。进一步的解释和例子请参见关于伽罗瓦群的文章。

这两种描述的关系如下说明。问题中的多项式的系数应当属于基域K。扩域L应当是在域K中添加多项式的根之后所得到的域。任一满足上述保持多项式性质的根的置换,都对应L/K的一个自同构,反之亦然。

在上面的第一个例子中,我们研究的是域扩张Q(√3)/Q,其中Q有理数域,而Q(√3)是在Q中加入√3之后所得到的域。在第二个例子中,我们研究的是域扩张Q(A,B,C,D)/Q

现代的方法比起置换群的方法,有几点优势:

  • 它使得伽罗瓦理论基本定理的描述更为简洁;
  • 在数学中的很多其他领域需要使用Q以外的基域。例如,在代数数论中,人们经常在代数数域有限域局部域上应用伽罗瓦理论。
  • 它使人们更容易研究无穷扩张。这在代数数论中同样很重要,例如人们经常需要研究Q绝对伽罗瓦群,即当KQ的一个代数闭包时,K/Q的伽罗瓦群。
  • 它使得人们可以研究不可分扩张。这在经典框架中并不成为问题,因为这时总是可以假定为特征0的;但在数论代数几何中经常出现特征非0的情况。
  • 它去除了人们对多项式求根的依赖性。也就是说,不同的多项式可能产生同一个扩域,现代的方法可以识别这些多项式之间的联系。

可解群和根式解

群论中可解群的概念让我们得以确定多项式何时有根式解。有根式解的充要条件是其分裂域对基域的伽罗瓦群可解。简言之,取此伽罗瓦群的任一合成列,透过伽罗瓦理论基本定理,合成列对应到一族子域,各段的伽罗瓦群一一对应于合成列的因子。若之伽罗瓦群是n阶循环群,则域扩张由n次根式生成。伽罗瓦群可解当且仅当合成列的因子皆为循环群,于是若群可解,相应方程便有根式解。反向的结果亦不难证明。

伽罗瓦理论的重大成就之一是证明了当时,一般的次多项式无根式解(“一般”意谓将多项式系数视为独立变元),原因是对称群时不可解。

例子:一个不可解的五次方程

考虑整系数多项式。根据一次因式检验法,无有理根。由整系数之故,模任意素数后可视之为有限域上的多项式,相应的伽罗瓦群记为。取,易见上无一次因式。

可分解为,故为六阶循环群。

无二次因子,故为五阶循环群。

注意到的伽罗瓦群的子商的子群若含有六阶及五阶元素,则该子群生成。于是的伽罗瓦群为,故无根式解。

参考文献

  • Emil Artin. Galois Theory. Dover Publications. 1998. ISBN 978-0-486-62342-9. 
  • Jörg Bewersdorff. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. 2006. ISBN 978-0-8218-3817-4.  .
  • Nathan Jacobson. Basic Algebra I (2nd ed). W.H. Freeman and Company. 1985. ISBN 978-0-7167-1480-4. 
  • M. M. Postnikov. Foundations of Galois Theory. Dover Publications. 2004. ISBN 978-0-486-43518-3. 
  • Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall. 1989. ISBN 978-0-412-34550-0. 
  • Harold M. Edwards. Galois Theory. Springer-Verlag. 1984. ISBN 978-0-387-90980-6. 
  • B. L. van der Waerden, 'Algebra'(1930)
  • Helmut Völklein, Groups as Galois Groups: An Introduction, Cambridge University Press (1996).
  • Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).

外部链接

以下是一些网上的教学资料:

中英夹杂的教学资料:

以下网站提供德语、中文、英语、法语、意大利语、西班牙语及罗马尼亚语版的线上教材:

以下网站提供伽罗瓦生平及其理论的应用:

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