位势论 - Wikiwand
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位势论

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位势论(Potential theory)是数学的一支,它可以定义为调和函数的研究。

来源和评论

“位势论”一词的来源在于,在19世纪的物理学中,自然界的基本力被相信为从满足拉普拉斯方程的位势导出。因此,位势论研究可以作为位势的函数。今天,我们知道自然界更为复杂——表述力的方程可以是诸如爱因斯坦场方程或者杨-米尔斯方程这样的非线性偏微分方程的系统,而拉普拉斯方程只是在受限情况下的近似。但是,“位势论”一词还是保留了作为对满足拉普拉斯方程的函数的研究的方便叫法。

很显然,位势论和拉普拉斯方程的理论有很大程度的重叠。这个程度是:可能可以在两个领域划分一个区别,区别在于重点而不是主题,并且主要在于下列区别——位势论注重函数的性质而不是方程的性质。例如,调和函数的奇点的一个结果可说属于位势论;而关于解如何依赖于边界条件的一个结果,却是拉普拉斯方程理论。当然,这不是一个严格和显然的区别,实践上两个领域有很大交叉,它们的结果和方法相互为用。

对称性

调和函数的研究有个基本而有用的原理,就是拉普拉斯方程的对称性。首先注意到拉普拉斯方程是线性的(不过这并非寻常意义下的对称),这意味着位势论的基本对象是由函数组成的线性空间,我们将在后面章节看到它的重要性。

就通常所谓的“对称”来说,我们可以从下述定理起步:n 维拉普拉斯方程的对称群恰好是 n 维欧氏空间的共形映射群,简称共形群。从此得到几个推论:

  1. 考虑共形群或其子群(例如旋转或平移子群)的不可约表示,籍此能有系统地得到拉普拉斯方程的分离变量解,诸如球面调和函数傅里叶级数解。从这些解的线性叠加能得到一大类调和函数,可证明它们构成调和函数空间里的一个稠密子空间(在适当的拓扑下)。
  2. 可以从共形对称性理解一些经典的技巧与方法,诸如克莱因变换或镜像法。
  3. 我们能用共形变换将一个区域的调和函数拉回成另一区域里的调和函数。最常见的例子是单位圆盘与上半平面的共形等价性。
  4. 利用共形对称性,可以将调和函数的定义推广到共形平坦(即:在一个光滑共形同胚映射下同胚于平坦空间)的黎曼流形。最简单的例子也许是将 上的调和函数(允许带有孤立奇点)视作 上的调和函数。至于较复杂的情形,以下举两个例子。首先我们将一个多值调和函数看作是 的某个分支覆盖上的单值调和函数,从而建立高维的黎曼曲面论;或者,我们可以将在共形群的一个离散子群下不变的调和函数视作轨形上的函数。

二维的情形

由于二维的共形变换群本身是无穷维,而在三维以上则是有限维的,我们可以猜测位势论在二维与在三维以上的性质迥异。的确如此;事实上,任何二维调和函数都是一个全纯函数的实部,因此二维位势论本质上不外是单变数的复分析。

因此,当人们谈到位势论,通常都将焦点集中在那些对三维以上成立的定理。让人惊奇的是许多来自复分析的定理与概念(例如施瓦兹定理、莫雷拉定理、魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理以及奇点的相关理论等等)可在高维中推广,我们可以借此感觉到哪些是一般理论的特例,而哪些又是单变数复分析独有的结果。

局部行为

位势论的重要课题之一是调和函数的局部行为,其中最基本的也许是拉普拉斯方程的正则性定理,此定理断言调和函数是解析函数。也有些结果是描述调和函数的等位面之局部结构,例如 Bôcher 定理,它描述正调和函数的孤立奇点。如前一节所述,调和函数的孤立奇点可分类为可去除奇点、极点与本性奇点。

不等式

研究调和函数的一种卓有成效的办法是研究它们满足的不等式,其中最基本者当属极大值原理,由此可推出大多数其它不等式。另一个重要结果是刘维尔定理,它断言定义在整个 上的有界调和函数必为常数函数。除此之外,还有柯西估计、Harnack 不等式与施瓦茨引理等几个重要的不等式。

这些不等式的重要应用之一是研究一族调和函数或次调和函数的极限,这些收敛定理往往可用来证明存在满足某些特殊性质的调和函数。

函数空间

由于拉普拉斯方程是线性的,定域上的调和函数集构成一个向量空间。借着赋予适宜的范数与(或)内积,可进一步赋予希尔伯特空间巴拿赫空间的结构。借此可得到哈代空间、布洛赫空间与柏格曼空间。

参考

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