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佩服数

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以古氏积木演示的佩服数12。
古氏积木演示的佩服数12

数论中,佩服数(英文:Admirable numbers),是指若一个正整数除了本身外之所有的约数[注 1],存在一个约数,将其他不是本身、不是的约数相加后,再,若等于本身,我们就称它为“佩服数”。换句话说佩服数是计算一数的约数和,但其中一个约数是以相反数和其他约数相加,得到的值是自己本身的数。有这种性质的数虽未如完全数一般的完美,但仍被形容为“令人敬佩的”[1]

所有大于3的素数6倍都是佩服数[1][注 2],因此佩服数有无穷多个。

定义

一个正整数除了本身外之所有约数,存在一个约数,将其他不是本身、不是的约数相加后,再,若等于本身,我们就称它为佩服数。

例如12约数12346、12。其中存在一个约数2,使得[2],同时,12也是最小的佩服数[1]

更为严格地说,佩服数是指使得公式成立的正整数,其中σ指的是因数和函数,即的所有正因数(包括其本身n)之和。是n的其中一个约数

例如20的约数有12451020,其因数和函数的结果为,存在一个约数1,使得,所以20可称为佩服数。

佩服数是过剩数的一个子集,换句话说所有佩服数都是过剩数[3]

例子

最小的一些佩服数是:

12202430404254566670788488102104114120138140174186222224234246258270282308318、354 ……(OEIS中的数列A111592

以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数945[4],同时最小的奇过剩数奇半完全数[5]也是945

前几个奇佩服数是:

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……(OEIS中的数列A109729

连续的佩服数[注 3]比连续的过剩数还要少。在1012以下,只有两组连续佩服数,分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)[1]

佩服数的分布并不像过剩数那样,过剩数有着非零的自然密度[6],而佩服数的成长率非线性的,例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个(OEIS中的数列A109727),其密度随着数字尺度变大而逐渐减少。

所有大于3的素数的六倍都是佩服数[1][注 2],更精确地说,所有的素数素因数不含该素数之完全数的乘积都是佩服数[注 4]

相关的数列

有一种与佩服数类似但不太一样的定义:一个正整数除了本身外之所有约数中,存在一个约数,将其他不是本身的约数相加后,再,等于本身。有这些性质的前几个数有:

1218202440、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……(OEIS中的数列A153501

例如18的约数有1236918有一个约数3,使得

有这种性质的数最小的奇数是173369889[7],同时也是最小的奇拟完全数(OEIS中的数列A181595[8],但不是佩服数。

符合这种定义的数未必是佩服数,例如18虽然符合这种定义,但并未符合佩服数的定义[9],因此18不是佩服数[注 5]

相容数

萨克斯参考了亲和数的定义,定义了一个新的数叫做相容数(compatible numbers),其定义为有一对数字N和M,分别各存在一个约数dN和dM,N将其他不是本身、不是dN的约数相加后,再掉dN,得到M、而M将其他不是本身、不是dM的约数相加后,再掉dM,得到N。

例如30和40[9]

30:2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40
40:1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前几对相容数是:

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……(OEIS中的数列A109797)和(OEIS中的数列A109798

亏完全数

有一种与佩服数类似但相反的定义:若一个正整数除了本身外之所有约数,存在一个约数d',将其他不是本身的约数相加后,再上d',等于本身。有这些性质的前几个数有:

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……[注 6]

例如10的约数有12510有一个约数2,使得

特别的,这些数字正好与亏完全数重叠,亏完全数的定义为:自己减去自己的约数和得到的数可以整除自己[10][11],在这个定义中1也符合,因为1不含自己的约数和是0,1减去零是1,当然可以整除1。

最小的几个亏完全数是:

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……(OEIS中的数列A271816

所有二的乘幂都是亏完全数[注 7],除了二的乘幂之外的亏完全数有:

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……(OEIS中的数列A060326

楚姆克勒数

楚姆克勒数(Zumkeller numbers)是指约数可以分为相同总和的两组数字。所有佩服数都是楚姆克勒数,因为佩服数中的相减约数(即其他约数和减去此约数会等于本身的那个约数)以外的约数存在一个约数,其与佩服数中的相减约数相加后会等于其他约数之和。

参见

注释

  1. ^ 为方便说明,本条目中的“约数”一律指正约数。
  2. ^ 2.0 2.1 假设p是一个大于3的素数,则6p可约数分解为,因此6p共有8个约数,分别为:1、2、3、6、p、2p、3p、6p,当中存在一个约数6,使得本身,因此对所有大于3的素数都是佩服数
  3. ^ 指两个相邻的整数都是佩服数的情况
  4. ^ 假设p是一个大于3的素数、q是一个完全数,则的约数包含所有q的约数和所有q与p的乘积,已知q的约数和为2q,因此的所有正约数和为,不含本身的约数和为,因此当中存在一个约数q使得其不包括q的约数和减去q等于本身,因此对所有大于3的素数p,都是佩服数
  5. ^ 18的约数有1,2,3,6,9,18,假设d'为1,得,非18;假设d'为2,得,非18;假设d'为3,得,非18;假设d'为6,得,非18;假设d'为9,得,非18;假设d'为18,得,非18。因此18不存在约数d',将其他不是本身、不是d'的约数相加后,再掉d',能等于本身,因此18不是佩服数[9]
  6. ^ 该数列未被整数数列线上大全收录。
  7. ^ 二的乘幂的约数基本上是低于该数的所有二的乘幂,例如64的约数为1、2、4、8、16、32、64,为小于等于64的所有二的乘幂,因此根据二的乘幂级数的性质[12],将不是本身的约数相加相当于从1到乘幂少1的二乘幂级数之和因此必等于本身减一,而1为所有自然数的约数,因此二的乘幂必定会是亏完全数。

参考文献

  1. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 admirable numbers. numbers aplenty. (原始内容存档于2017-06-03). 
  2. ^ J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. 
  3. ^ Admirable numbers. oeis.org. All admirable numbers are abundant 
  4. ^ 佩服数列表. 整数数列线上大全. 
  5. ^ Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001.  Section B2. pp.75
  6. ^ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001. 
  7. ^ Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整数数列线上大全. 
  8. ^ V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. (原始内容存档于2010年11月30日). 
  10. ^ M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
  11. ^ M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
  12. ^ The sum of the powers of two from 20 up to 2(n - 1) is (2^n) - 1. c2.com. 

外部链接

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