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保罗·寇恩

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保罗·约瑟夫·寇恩(英语:Paul Joseph Cohen,1934年4月2日-2007年3月23日) ,美国数学家,他证明策梅洛-弗兰克尔公理系统加上选择公理 (ZFC) 不能反驳连续统假设 (CH) 的否命题,而ZF不能反驳选择公理 (AC) 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起,证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法,如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖章

早年经历

保罗·寇恩生于美国新泽西州长滩(Long Branch)的一个犹太家庭,1950年毕业于纽约市的Stuyvesant高中。

1950年寇恩入读纽约市立大学布鲁克林学院。不过他了解到申请芝加哥大学的研究生院只需两年大学经历,因此于1953年从布鲁克林学院肄业。1954年寇恩在芝加哥大学取得硕士学位,1958年他在 Antoni Zygmund的指导下获得博士学位。寇恩的博士论文题为《三角级数唯一性理论的一些问题》(Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series)。

学术生涯

  • 1957-1959年,在获得博士学位之前曾先后执教于罗彻斯特大学麻省理工大学
  • 1959-1961年,普林斯顿高等研究院博士后研究员。
  • 1961年,获聘为斯坦福大学数学系助理教授。
  • 1962年,升任斯坦福大学数学系副教授,同年获得斯隆奖
  • 1963年,凭借连续统假设的独立性证明获得 Research Corp. 奖。
  • 1964年,升任斯坦福大学数学系教授。
  • 1966年,获得菲尔兹奖章。
  • 1967年,获得美国国家科学奖章。
  • 2004年,从斯坦福大学退休,但任教直至2007年春季。
  • 生前是美国国家科学院美国艺术科学院的院士。

数学贡献

寇恩的博士论文和早期的研究内容是调和分析。1964年寇恩凭借分析学论文《关于李特尔伍德猜想和幂等测度》(On a conjecture of Littlewood and idempotent measures)获得美国数学学会颁发的博谢纪念奖

1960年代初,寇恩开始对连续统假设感兴趣。最终他发明了力迫法。在ZF协调的假设下,他运用力迫法构造了一个ZFC的模型M,M不满足CH,因此ZFC不能证明CH。另外,同样在ZF协调的假设下,寇恩运用力迫法扩张一个给定的ZFC模型M得到M[G],然后取M[G]的一个子模型N,N满足ZF、然而不满足AC。寇恩的这两项工作和哥德尔在1930年代的工作一起,证明了CH独立于ZFC而AC独立于ZF,因此CH是ZFC上的一个不可判定问题。

凭借CH的独立性证明,寇恩于1966年获得菲尔兹奖章,并于1967年获得美国国家科学奖章。直至今天,寇恩的菲尔兹奖章依然是数理逻辑界获得的唯一一枚菲尔兹奖章。

寇恩生前是斯坦福大学的教授,也是一位出色的教师,他指导的博士生彼得·萨纳克(Peter Sarnak)是一位杰出的数学家、美国科学院院士和英国皇家学会会士。

连续统假设

据说在研究连续统假设的过程中,寇恩曾经感到其他数学家认为没有希望解决这个问题,因为当时没有构造集合论模型的新方法。1985年寇恩接受采访时提到,人们甚至认为考虑这个问题的人多少有点疯狂。

寇恩的独立性证明引入了力迫法,如今力迫法成为一项强有力的技术,不计其数的数学家们运用这一方法构造模型,检验给定的假设可否与不同的公理系统协调。

外部链接

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